収束する複素級数の定数倍の和
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(c\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\begin{equation*}cz_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum z_{n}\)が複素数へ収束する場合には複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum cz_{n}\)もまた複素数へ収束し、両者の和の間には以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }cz_{n}=c\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する無限級数\(\sum z_{n}\)の複素数倍の形をしている無限級数\(\sum cz_{n}\)が与えられたとき、\(\sum cz_{n}\)もまた収束することが保証されるとともに、\(\sum z_{n}\)の和を\(c\)倍すれば\(\sum cz_{n}\)の和が得られます。したがって、何らかの無限級数\(\sum z_{n}\)の複素数倍の形をしている無限級数\(\sum cz_{n}\)の収束可能性を検討する際には、複素級数の和の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\sum z_{n}\)を分けた上で、\(\sum z_{n}\)が収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}が成り立つ。
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(a+bi\right) z_{n}\)もまた収束するとともに、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( a+bi\right) z_{n} &=&\left( a+bi\right)
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) +i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ a\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-b\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] +\left[
a\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) +b\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\left( b\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\right) i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
定数倍の法則の逆
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には、無限級数\(\sum cz_{n}\)もまた収束することが明らかになりました。特に、\(c\not=0\)である場合には逆の主張もまた成り立ちます。つまり、\(c\not=0\)であるとともに無限級数\(\sum cz_{n}\)が収束する場合、もとの無限級数\(\sum z_{n}\)も収束します。
\end{equation*}が成り立つ。
ちなみに、\(c=0\)の場合に上の命題の主張は成り立ちません。つまり、\(c=0\)かつ無限級数\(\sum cz_{n}\)が収束する場合、もとの無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるものとします。部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}vi \\
&=&\left( \sum_{v=1}^{n}v\right) i
\end{eqnarray*}であるため、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( s_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{v=1}^{n}v \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、したがって部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)は収束しません。ゆえに無限級数\(\sum z_{n}\)は発散します。その一方で、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の複素数\(0\)倍として定義される複素数列\(\left\{ 0z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}0z_{n}=0
\end{equation*}であるため、部分和は、\begin{eqnarray*}
t_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}0z_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、したがってその極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }0z_{n}=0
\end{equation*}を得ます。以上より、\(\sum 0z_{n}\)は収束する一方で\(\sum z_{n}\)は収束しないことが明らかになりました。
発散する複素級数の定数倍は発散する
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(c\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\begin{equation*}cz_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum z_{n}\)が発散するとともに\(c\not=0\)である場合には複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum cz_{n}\)もまた発散します。
ちなみに、\(c=0\)の場合に上の命題の主張は成り立ちません。実際、\(c=0\)の場合、複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}cz_{n}=0
\end{equation*}となるため、この場合には無限級数\(\sum cz_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }cz_{n}=0
\end{equation*}となるからです。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を一般項とする複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{c}\right\} \)が定義可能です。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には無限級数\(\sum \frac{z_{n}}{c}\)もまた収束し、両者の和の間に以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=!}^{+\infty }\frac{z_{n}}{c}=\frac{\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}}{c}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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