収束する複素級数の部分和の列は有界
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{z_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum z_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v} \\
&=&z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}
\end{eqnarray*}で表記し、これを複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和と呼びます。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum z_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することは部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することとして定義されますが、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は複素数列であるため、無限級数の収束と複素数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。
複素数へ収束する複素数列は有界です。したがって、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束する場合、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界になることが保証されます。ただし、\(\left\{s_{n}\right\} \)が有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}\left\{ s_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert \leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
以上の議論より、無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界になることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{i}{n\left(
n+1\right) }\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{i}{2}+\frac{i}{6}+\frac{i}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束します。実際、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\frac{i}{v\left( v+1\right) }\quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}\right) \quad \because
\frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}=\frac{i}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( i-\frac{i}{2}\right) +\left( \frac{i}{2}-\frac{i}{3}\right)
+\left( \frac{i}{3}-\frac{i}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{i}{n}-\frac{i}{n+1}\right) \\
&=&i-\frac{i}{n+1}\quad \because \text{相殺} \\
&=&\frac{n}{n+1}i
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1}i \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}i \\
&=&\frac{1}{1+0}i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=i
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって先の命題より、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert s_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{n}{n+1}i\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( \frac{n}{n+1}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{n}{n+1} \\
&\leq &1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{s_{n}\right\} \)は有界です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界になることが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}i\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -i\right) +i+\left( -i\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は発散します。実際、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( -1\right) ^{v}i\quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} \)は、\begin{equation*}\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} =\left\{ -1,0,-1,0,\cdots
\right\}
\end{equation*}であり、これは振動列であるため収束しません。ゆえに\(\left\{s_{n}\right\} \)は収束しないため、無限級数\(\sum z_{n}\)が発散することが明らかになりました。その一方で、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert s_{n}\right\vert &=&\left\vert \sum_{v=1}^{n}\left( -1\right)
^{v}i\right\vert \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left\vert 0\right\vert & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
\left\vert -i\right\vert & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{0^{2}+0^{2}} & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2}} & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
&\leq &1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{s_{n}\right\} \)は有界です。
収束する無限級数のもととなる複素数列は有界
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界であることが明らかになりました。この場合には複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた有界になることが保証されます。なぜなら、無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束しますが、収束する複素数列は有界だからです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{i}{n\left(
n+1\right) }\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{i}{2}+\frac{i}{6}+\frac{i}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、先に示したように、この無限級数は収束します。したがって先の命題より、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{i}{n\left( n+1\right) }\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left[ \frac{1}{n\left( n+1\right) }\right] ^{2}} \\
&=&\frac{1}{n\left( n+1\right) } \\
&\leq &1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界になることが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}i\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -i\right) +i+\left( -i\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、先に示したように、この無限級数は発散します。その一方で、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( -1\right) ^{n}i\right\vert
\\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2n}} \\
&=&\sqrt{1} \\
&=&1 \\
&\leq &1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界です。
複素級数が発散するための条件
先の2つの命題の対偶をとることにより以下を得ます。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列は有界でないため、先の命題より、無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }ni
\end{equation*}は発散します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -ni\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }2^{n}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
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