複素級数
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)とは無限個の複素数を順番に並べたもの\begin{equation*}z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、この無限個の複素数を順番通りに加えることにより得られる和\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}を複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数（infinite series）や複素級数（complex series）、級数（series）、または無限和（infinite sum）などと呼びます。無限級数をシンプルに、\begin{equation*}
\sum z_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( 2i\right) ^{n}\quad
\because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&2i+\left( 2i\right) ^{2}+\left( 2i\right) ^{3}+\cdots \\
&=&2i-4-8i+\cdots
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{i}{n}\quad \because
\left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&i+\frac{i}{2}+\frac{i}{3}+\cdots
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}i\quad
\because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&-i+i-i+\cdots
\end{eqnarray*}です。
収束する無限級数（無限級数の和）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は無限個の複素数からなる並び\begin{equation*}z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n},\cdots
\end{equation*}であるため、無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}は無限個の複素数の和です。ただ、「複素数を無限回加える」という操作を実際に行うことはできないため、無限級数の値を特定するためには何らかの工夫が必要です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられたとき、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(z_{1}\)から第\(n\)項\(z_{n}\)までの和をとることができるため、それを、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v} \\
&=&z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}
\end{eqnarray*}で表記し、これを複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和（\(n\) th partial sum）と呼びます。「複素数を無限回加える」ことは不可能である一方で、どれほど大きい番号\(n\)を選んだ場合でも\(n\)は有限であるため、「複素数を有限\(n\)回加える」という操作は可能です。したがって、それぞれの番号\(n\)に対して部分和\(s_{n}\)がそれぞれ1つの複素数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、複素数\(\left\{z_{n}\right\} \)が与えられたとき、その第\(n\)部分和\(s_{n}\)を一般項とする新たな複素数列\begin{equation*}\left\{ s_{n}\right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、この複素数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}s_{1} &=&z_{1} \\
s_{2} &=&z_{1}+z_{2} \\
s_{3} &=&z_{1}+z_{2}+z_{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。以上のように定義される複素数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)を、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和の列（sequence of partial sums）と呼びます。
繰り返しになりますが、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}は無限個の複素数の和であるため、これを直接求めることはできません。一方、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}z_{v}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}
\end{equation*}であり、これは有限個の複素数の和であるため、複素数として定まります。つまり、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)は複素数列であるため、これが複素数へ収束するか検討できます。そこで、\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つ場合には、この極限を無限級数\(\sum z_{n}\)の値として採用します。つまり、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には、無限級数\(\sum z_{n}\)の値を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}を満たすものとして定義するということです。\(\left\{ s_{n}\right\} \)の定義より、これを、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\sum_{v=1}^{n}z_{v}\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}と表現することもできます。いずれにせよ、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合、無限級数\(\sum z_{n}\)は収束する（converge）といい、その場合の無限級数\(\sum z_{n}\)の値、すなわち極限\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty }s_{n}\)のことを無限級数\(\sum z_{n}\)の和（sum）と呼びます。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合、もとの複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)は総和可能（summable）であると言います。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{i}{n\left( n+1\right)
}\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{i}{2}+\frac{i}{6}+\frac{i}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\frac{i}{v\left( v+1\right) }\quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}\right) \quad \because
\frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}=\frac{i}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( i-\frac{i}{2}\right) +\left( \frac{i}{2}-\frac{i}{3}\right)
+\left( \frac{i}{3}-\frac{i}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{i}{n}-\frac{i}{n+1}\right) \\
&=&i-\frac{i}{n+1}\quad \because \text{相殺} \\
&=&\frac{n}{n+1}i
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}i
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}i \\
&=&\frac{1}{1+0}i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=i
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }0\quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0+0+0+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}0\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
発散する無限級数
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとは限りません。つまり、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとは限りません。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が複素数へ収束しない場合、無限級数\(\sum z_{n}\)は発散する（diverge）と言います。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }ni\quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&i+2i+3i+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}vi\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&i+2i+3i+\cdots +ni \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}i
\end{eqnarray*}であるため、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( s_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n\left( n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって複素数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は収束せず、無限級数\(\sum z_{n}\)は発散することが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}i\quad
\because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -i\right) +i+\left( -i\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( -1\right) ^{v}i\quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} \)は、\begin{equation*}\left\{ \mathrm{Im}\left( s_{n}\right) \right\} =\left\{ -1,0,-1,0,\cdots
\right\}
\end{equation*}であるためこれは振動列であり、ゆえに収束しません。したがって\(\left\{ s_{n}\right\} \)は収束しないため、無限級数\(\sum z_{n}\)が発散することが明らかになりました。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( 1+i\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{n+2i}-\frac{1}{n+1+2i}\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
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