等比複素級数
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表される場合、このような複素数列を等比複素数列（geometric progression of complex numbers）と呼びます。等比複素数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&ar \\
z_{3} &=&ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等比複素数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ複素数列です。この\(r\)を公比（common ratio）と呼びます。
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }ar^{n-1} \\
&=&a+ar+ar^{2}+\cdots
\end{eqnarray*}となりますが、このような無限級数を等比複素級数（geometric series of complex numbers）と呼びます。
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }i^{n} \\
&=&i+i^{2}+i^{3}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等比複素級数です。
\end{equation*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( 1+i\right) \left(
1-i\right) ^{n-1} \\
&=&\left( 1+i\right) +\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) +\left( 1+i\right)
\left( 1-i\right) ^{2}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等比複素級数です。
&=&r^{n-1}
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }r^{n-1} \\
&=&1+r+r^{2}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等比複素級数です。
&=&a
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }a \\
&=&a+a+a+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等比複素級数です。
等比複素級数の収束可能性と発散可能性
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が等比複素級数であるものとします。つまり、その一般項が定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるということです。この複素数列の部分和が、\begin{equation*}
s_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{a\left( 1-r^{n}\right) }{1-r} & \left( if\ r\not=1\right) \\
na & \left( if\ r=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であることを踏まえた上で、等比複素級数の収束可能性を検討します。
等比複素数列の初項が\(0\)である場合、等比複素級数は収束します。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a=0\)の場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=0
\end{equation*}となる。
等比複素数列の初項が\(0\)ではない場合、等比複素級数が収束するための条件および和は以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)かつ\(\left\vert r\right\vert <1\)の場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\frac{a}{1-r}
\end{equation*}となる。
等比複素数列の初項が\(0\)ではない場合、等比複素級数が発散するための条件は以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)かつ\(\left\vert r\right\vert \geq 1\)の場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は発散する。
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}です。初項は\(i\not=0\)を満たし、公比は、\begin{eqnarray*}\left\vert i\right\vert &=&\sqrt{0^{2}+1^{2}} \\
&=&1 \\
&\geq &1
\end{eqnarray*}を満たすため、先の命題より無限級数\(\sum z_{n}\)は発散します。
\end{equation*}です。初項は\(1+i\not=0\)を満たし、公比は、\begin{eqnarray*}\left\vert 1-i\right\vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2} \\
&\geq &1
\end{eqnarray*}を満たすため、先の命題より無限級数\(\sum z_{n}\)は発散します。
&=&r^{n-1}
\end{eqnarray*}です。初項は\(1\not=0\)を満たすため、公比が\(\left\vert r\right\vert <1\)を満たす場合には先の命題より、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\frac{1}{1-r}
\end{equation*}となる一方で、公比が\(\left\vert r\right\vert \geq 1\)を満たす場合には\(\sum z_{n}\)は発散します。
&=&a
\end{eqnarray*}です。初項が\(a=0\)の場合には先の命題より、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=0
\end{equation*}である一方で、初項が\(a\not=0\)の場合には、公比は、\begin{eqnarray*}\left\vert 1\right\vert &=&\sqrt{1^{2}+0^{2}} \\
&=&1 \\
&\geq &1
\end{eqnarray*}を満たすため\(\sum z_{n}\)は発散します。
演習問題
\end{equation*}が収束するために\(z\)が満たすべき条件を特定してください。
\end{equation*}は任意の\(\theta \)のもとで収束することを示すとともに、その和を特定してください。
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