絶対収束複素級数とダランベールの判定法
複素級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束複素級数であることとは、この級数の絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =\left\vert
z_{1}\right\vert +\left\vert z_{2}\right\vert +\left\vert z_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が実数へ収束することとして定義されます。絶対収束複素級数は複素数へ収束します。
以上を踏まえると、複素級数\(\sum z_{n}\)が複素数へ収束することを示す代わりに、実級数である絶対値級数\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)が実数へ収束することを示してもよいということになります。さらに、絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)が正項級数であるような実級数であるため、その収束可能性を判定する際に、正項級数を対象とした収束判定法を活用できます。
正項級数を対象とした収束判定の1つがダランベールの判定法です。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな実数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)を定義し、さらにその極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r
\end{equation*}と表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
以上を踏まえると以下の命題が導かれます。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( 2i\right) ^{n}}{3^{n}\sqrt{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left( 2i\right) ^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)を定義すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert &=&\left\vert \frac{\left(
2i\right) ^{n+1}}{3^{n+1}\sqrt{n+1}}\cdot \frac{3^{n}\sqrt{n}}{\left(
2i\right) ^{n}}\right\vert \\
&=&\left\vert \frac{2i\sqrt{n}}{3\sqrt{n+1}}\right\vert \\
&=&\left\vert \frac{2}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}}i\right\vert \\
&=&\frac{2}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}}
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}} \\
&=&\frac{2}{3}\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{n}{n+1}} \\
&=&\frac{2}{3}\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{1+0}} \\
&=&\frac{2}{3} \\
&<&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、もとの複素級数\(\left( 1\right) \)は絶対収束し、したがって収束します。
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n!i}{5^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{n!i}{5^{n}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)を定義すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert &=&\left\vert \frac{\left(
n+1\right) !i}{5^{n+1}}\cdot \frac{5^{n}}{n!i}\right\vert \\
&=&\left\vert \frac{n+1}{5}\right\vert \\
&=&\frac{n+1}{5}
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{5} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、もとの複素級数\(\left( 1\right) \)は発散します。
ダランベールの判定法が役に立たないケース
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられたとき、実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\vert =r
\end{equation*}を観察することにより、複素級数\(\sum z_{n}\)の絶対収束可能性を判定できることが明らかになりました。具体的には、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただ、この判定法は\(r<0\)の場合や\(r=1\)の場合、または\(r\)が存在しない場合について何も主張していません。したがって、これらの場合にはダランベールの判定法から複素級数\(\sum z_{n}\)の絶対収束可能性について何らかの結論を導くことはできません。順番に考えます。
まずは\(r<0\)の場合について考えます。実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)の任意の項は非負であるため、その極限\(r\)が負であるような状況はそもそも起こり得ません。
続いて\(r=1\)の場合ですが、以下の例が示唆するように、この場合には複素級数\(\sum z_{n}\)が絶対収束する場合と発散する場合の双方が起こり得るため、ダランベールの判定法は役に立ちません。
まずは、\(r=1\)であるとともに複素級数\(\sum z_{n}\)が絶対収束する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}i}{n^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left( -1\right) ^{n}i}{n^{2}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)を定義します。その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert &=&\left\vert \frac{\left(
-1\right) ^{n+1}i}{\left( n+1\right) ^{2}}\frac{n^{2}}{\left( -1\right) ^{n}i}\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}\right\vert \\
&=&\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \\
&=&\frac{1}{1+0+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがってダランベールの判定法は役に立ちません。そこで、比較判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}i}{2^{n}}\right\vert =\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}が成り立つため、以下の無限級数\begin{equation}
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2^{n}} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目します。\(\left( 2\right) \)は初項が\(\frac{1}{2}\not=0\)を満たし公比が\(\frac{1}{2}\in \left( -1,1\right) \)を満たす等比級数であるため収束します。したがって、もとの複素級数\(\left( 1\right) \)は絶対収束し、ゆえに収束します。
続いて、\(r=1\)であるとともに複素級数\(\sum z_{n}\)が発散する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}i \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この無限級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \left( -1\right) ^{n}i\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)を定義します。その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert &=&\left\vert \frac{\left(
-1\right) ^{n+1}i}{\left( -1\right) ^{n}i}\right\vert \\
&=&\left\vert -1\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがってダランベールの判定法は役に立ちません。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left(z_{n}\right) \right\} =\left\{ \left( -1\right) ^{n}\right\} \)は振動列であるため収束せず、したがって複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)も収束しません。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、無限級数\(\left( 1\right) \)は発散します。
最後に、\(r\)が存在しない場合ですが、この場合にもダランベールの判定法は役に立ちません。以下が具体例です。
\frac{i}{1^{2}}-\frac{i}{1^{3}}+\frac{i}{2^{2}}-\frac{i}{2^{3}}+\cdots +\frac{i}{n^{2}}-\frac{i}{n^{3}},\cdots
\end{equation*}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{i}{1^{2}},-\frac{i}{1^{3}},\frac{i}{2^{2}},-\frac{i}{2^{3}},\cdots ,\frac{i}{n^{2}},-\frac{i}{n^{3}},\cdots
\right\}
\end{equation*}と表記します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}z_{2n-1} &=&\frac{i}{n^{2}} \\
z_{2n} &=&-\frac{i}{n^{3}}
\end{eqnarray*}を満たすため、実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{2n}}{z_{2n-1}}\right\vert &=&\left\vert -\frac{i}{n^{3}}\frac{n^{2}}{i}\right\vert =\frac{1}{n} \\
\left\vert \frac{z_{2n+1}}{z_{2n}}\right\vert &=&\left\vert \frac{i}{\left(
n+1\right) ^{2}}\frac{n^{3}}{-i}\right\vert =\frac{n^{3}}{\left( n+1\right)
^{2}}
\end{eqnarray*}を満たします。部分列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{2n}}{z_{2n-1}}\right\vert \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \left\vert \frac{z_{2n}}{z_{2n-1}}\right\vert \right) &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方、部分列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{2n+1}}{z_{2n}}\right\vert \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \left\vert \frac{z_{2n+1}}{z_{2n}}\right\vert \right) &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{3}}{\left(
n+1\right) ^{2}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{n^{3}}{n^{2}+2n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{n}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\right) \\
&=&\frac{+\infty }{1+0+0} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、実数列\(\left\{ \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right\vert \right\} \)の極限は存在しません。したがって、ダランベールの判定法は役に立ちません。
演習問題
\end{equation*}について考えます。この複素級数は任意の複素数\(z\)のもとで絶対収束することを示してください。
\end{equation*}について考えます。この複素数列は任意の複素数\(z\)のもとで、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{z^{n}}{n!}=0
\end{equation*}を満たすことを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】