ベキ複素級数の収束判定とコーシー・アダマールの判定法
複素数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これを係数とする原点まわりのベキ複素級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots
\end{equation*}が得られます。このベキ級数の収束可能性は複素数\(z\in \mathbb{C} \)の選び方に依存します。ただし、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert z\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert z\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。この値\(R\)をベキ複素級数\(\sum a_{n}z^{n}\)の収束半径と呼び、\(\sum a_{n}z^{n}\)が収束する\(z\)からなる集合\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert <R\right\}
\end{equation*}を収束円と呼びます。
ベキ複素級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。では、収束半径の水準を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。コーシー・アダマールの判定法を用いることにより以下が導かれます。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{\frac{2}{n}}}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}
\\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\quad \because \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}=1 \\
&=&\frac{1}{2} \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert z\right\vert <2\)を満たす任意の\(z\in \mathbb{C} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert z\right\vert >2\)を満たす任意の\(z\in \mathbb{C} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{n^{n}}{e^{2n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{e^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(z=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}{n^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\ln \left( n\right) }{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は\(+\infty \)です。したがって、任意の\(z\in \mathbb{C} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n^{n}}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{6n+1}{2n+5}\right) ^{n}\left( z-2i\right)
^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( z-4-3i\right) ^{n}}{5^{2n}}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
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