絶対収束複素級数とコーシー・アダマールの判定法
複素級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束複素級数であることとは、この級数の絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =\left\vert
z_{1}\right\vert +\left\vert z_{2}\right\vert +\left\vert z_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が実数へ収束することとして定義されます。絶対収束複素級数は複素数へ収束します。
以上を踏まえると、複素級数\(\sum z_{n}\)が複素数へ収束することを示す代わりに、実級数である絶対値級数\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)が実数へ収束することを示してもよいということになります。さらに、絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)が正項級数であるような実級数であるため、その収束可能性を判定する際に、正項級数を対象とした収束判定法を活用できます。
正項級数を対象とした収束判定の1つがコーシー・アダマールの判定法です。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな実数列\(\left\{ \left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義し、さらにその極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
以上を踏まえると以下の命題が導かれます。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation}について考えます。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ w_{n}\right\} =\left\{ \frac{z^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert w_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert w_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert \frac{z^{n}}{\left(
n+1\right) ^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{\left\vert z^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}}{\left\vert \left(
n+1\right) ^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{\left\vert z\right\vert }{\left\vert n+1\right\vert } \\
&=&\frac{\left\vert z\right\vert }{n+1}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert w_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\left\vert z\right\vert }{n+1} \\
&=&0 \\
&<&1
\end{eqnarray*}を満たすため、先の命題よりもとの複素級数\(\left( 1\right) \)は絶対収束し、したがって収束します。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( ni\right) ^{n}}{2^{2n+1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left( ni\right) ^{n}}{2^{2n+1}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert \frac{\left(
ni\right) ^{n}}{2^{2n+1}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{\left\vert \left( ni\right) ^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}}{\left\vert 2^{2n+1}\right\vert ^{\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{\left\vert ni\right\vert }{\left\vert 2^{\frac{2n+1}{n}}\right\vert
} \\
&=&\frac{n}{2^{\frac{2n+1}{n}}} \\
&=&\frac{n}{2^{2+\frac{1}{n}}}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{2^{2+\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{+\infty }{2^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}を満たすため、先の命題よりもとの複素級数\(\left( 1\right) \)は発散します。
コーシー・アダマールの判定法が役に立たないケース
複素級数\(\sum z_{n}\)が与えられたとき、実数列\(\left\{\left( z_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}を観察することにより、\(\sum z_{n}\)の絶対収束可能性を判定できることが明らかになりました。具体的には、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただ、この判定法は\(r<0\)や\(r=1\)の場合について何も主張していません。したがって、これらの場合には、コーシー・アダマールの判定法から\(\sum z_{n}\)の絶対収束可能性に関して何らかの結論を導くことはできません。順番に考えます。
まずは\(r<0\)の場合について考えます。実数列\(\left\{ \left( z_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の任意の項は非負であるため、その極限\(r\)が負であるような状況はそもそも起こりません。
続いて\(r=1\)の場合ですが、以下の例が示唆するように、この場合には\(\sum z_{n}\)が絶対収束する場合と発散する場合の双方が起こり得るため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。
まずは、\(r=1\)であるとともに複素級数\(\sum z_{n}\)が絶対収束する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{i^{n}}{n^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ \frac{i^{n}}{n^{2}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義します。一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert \frac{i^{n}}{n^{2}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{\left\vert i\right\vert }{\left( n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{\left( n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{\left( n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}}
\\
&=&\frac{1}{1^{2}}\quad \because \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}=1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。そこで、比較判定法を利用します。\begin{eqnarray*}
\left\vert z_{1}\right\vert &=&\left\vert \frac{i}{1^{2}}\right\vert \\
&=&\left\vert i\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるとともに、\(n\geq 2\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{i^{n}}{n^{2}}\right\vert \\
&=&\frac{\left\vert i\right\vert ^{n}}{\left\vert n^{2}\right\vert } \\
&=&\frac{1}{n^{2}} \\
&<&\frac{1}{n^{2}-n} \\
&=&\frac{1}{n\left( n-1\right) }
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の実級数\begin{equation}
1+\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n\left( n-1\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目します。部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&1+\sum_{v=2}^{n}\frac{1}{v\left( v-1\right) } \\
&=&1+\sum_{v=2}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v-1}\right) \\
&=&1+\left( \frac{1}{2}-1\right) +\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)
+\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \\
&=&1+\frac{1}{n}\quad \because \text{相殺}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって\(\left( 2\right) \)は収束するため、比較判定法より、もとの複素級数\(\left(1\right) \)は絶対収束し、ゆえに収束します。
続いて、\(r=1\)であるとともに複素級数\(\sum z_{n}\)が発散する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }i^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この複素級数のもととなる複素数列を、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ i^{n}\right\}
\end{equation*}と表記した上で実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert i^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\left\vert i\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。その一方で、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ i,-1,-i,1,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} =\left\{ 1,0,-1,0,\cdots
\right\}
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)は収束せず、ゆえに\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束しません。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、消失条件より\(\sum z_{n}\)は発散します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }n^{2}\left( \frac{i}{4}\right) ^{n}
\end{equation*}の収束可能性を判定してください。
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