問題1（30点）
問題（複素級数の和）
以下の問いに答えてください（各15点）。
- \(0<r<1\)を満たす実数\(r\in \mathbb{R} \)および実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて定義される複素級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }r^{n}e^{in\theta }\end{equation*}が収束することを示すとともに、その和を求めてください。
- 以上の結果を踏まえた上で、以下の複素級数\begin{equation*}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }r^{\left\vert n\right\vert }e^{in\theta }
\end{equation*}が収束することを示すとともに、その和を求めてください。
問題2（40点）
問題（複素級数の収束半径）
以下の複素級数の収束半径を特定してください（各10点）。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n}{6^{n}}z^{n} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{3^{n}z^{n}}{4^{n}+5^{n}} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{z^{2n}}{4^{n}n^{n}} \\
&&\left( d\right) \ \sum_{n=3}\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{\frac{n}{2}}z^{n}
\end{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n}{6^{n}}z^{n} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{3^{n}z^{n}}{4^{n}+5^{n}} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{z^{2n}}{4^{n}n^{n}} \\
&&\left( d\right) \ \sum_{n=3}\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{\frac{n}{2}}z^{n}
\end{eqnarray*}
問題3（30点）
問題（複素級数が収束する点）
以下の複素級数が収束する\(z\in \mathbb{C} \)を特定してください特定してください（各10点）。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( z-1\right) ^{n} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }2^{n}\left( z-2\right) ^{n} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }n^{n}\left( z-3\right) ^{n}
\end{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }2^{n}\left( z-2\right) ^{n} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }n^{n}\left( z-3\right) ^{n}
\end{eqnarray*}
