確認テスト II（複素級数）

以下の複素級数の収束半径を特定してください（各10点）。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2}z^{n} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2^{n}z^{2n}}{n^{2}+n} \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n^{n}}{1+2^{n}n^{n}}z^{n} \\
&&\left( d\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n!z^{n}}{n^{n}}
\end{eqnarray*}

以下の複素級数が収束する\(z\in \mathbb{C} \)を特定してください特定してください（各10点）。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( z-i\right) ^{n}}{n!} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( z+1\right) ^{n}}{n^{2}}
\\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=3}^{+\infty }\frac{2^{n}}{n^{2}}\left(
z-2-i\right) ^{n}
\end{eqnarray*}

以下の複素級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{Z} _{+}:\left\vert a_{n}\right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つものとします。この複素級数の収束半径\(R\)が以下の条件\begin{equation*}R\geq 1
\end{equation*}を満たすことを証明してください。