収束級数どうしの和は収束する
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum z_{n}\)と複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum w_{n}\)がともに収束する場合には、複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、これらの和の間には以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する無限級数\(\sum z_{n},\sum w_{n}\)の和の形をしている無限級数\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)が与えられたとき、\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\sum z_{n}\)の和と\(\sum w_{n}\)の和を足せば\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)の和が得られることを上の命題は保証しています。したがって、無限級数どうしの和の形をしている無限級数\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)の収束可能性を検討する際には、無限級数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\sum z_{n}\)と\(\sum w_{n}\)に分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
命題（収束級数どうしの和は収束する）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから複素数列\(\left\{z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義する。無限級数\(\sum z_{n},\sum w_{n}\)がともに収束するならば無限級数\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束し、それらの和の間には以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
例（収束する複素級数の和）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義します。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}となります。無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n} \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] +\left[
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] +\left[
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) +\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}となります。無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n} \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] +\left[
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] +\left[
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) +\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素級数の和）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が実数列であるとともに無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}となります。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)が実数列であるとともに無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n} \\
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}となります。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)が実数列であるとともに無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty
}z_{n}+\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n} \\
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素級数の和）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が純虚数列であるとともに無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right)
\end{equation*}となります。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)が純虚数列であるとともに無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) +i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
z_{n}\right)
\end{equation*}となります。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)が純虚数列であるとともに無限級数\(\sum w_{n}\)が収束する場合には、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }w_{n}=i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left( z_{n}+w_{n}\right) &=&i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) +i\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \\
&=&\left[ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
収束級数と発散級数の和は発散する
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)が定義可能です。
無限級数\(\sum z_{n},\sum w_{n}\)の一方が収束するとともに他方が発散する場合、無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた発散します。
命題（収束級数と発散級数の和は発散する）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから複素数列\(\left\{z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義する。無限級数\(\sum z_{n},\sum w_{n}\)の一方が収束するとともに他方が発散するならば、無限級数\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)もまた発散する。
例（収束級数と発散級数の和は発散する）
複素級数\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n\left( n+1\right) }+ni
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するでしょうか。複素数列\(\left\{ \frac{1}{n\left( n+1\right) }\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1-\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \frac{1}{n\left( n+1\right) }\)は収束します。一方、複素数列\(\left\{ ni\right\} \)の虚部の部分和は、\begin{eqnarray*}t_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\mathrm{Im}\left( ni\right) \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n\left( n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \mathrm{Im}\left( ni\right) \)は発散し、したがって\(\sum ni\)もまた発散します。したがって、先の命題より無限級数\(\sum \left[ \frac{1}{n\left(n+1\right) }+ni\right] \)すなわち\(\sum z_{n}\)は発散します。
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するでしょうか。複素数列\(\left\{ \frac{1}{n\left( n+1\right) }\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1-\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \frac{1}{n\left( n+1\right) }\)は収束します。一方、複素数列\(\left\{ ni\right\} \)の虚部の部分和は、\begin{eqnarray*}t_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\mathrm{Im}\left( ni\right) \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n\left( n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \mathrm{Im}\left( ni\right) \)は発散し、したがって\(\sum ni\)もまた発散します。したがって、先の命題より無限級数\(\sum \left[ \frac{1}{n\left(n+1\right) }+ni\right] \)すなわち\(\sum z_{n}\)は発散します。
発散級数どうしの和は発散するとは限らない
収束級数どうしの和は収束し、収束級数と発散級数の和は発散することが明らかになりました。残されたパターンは発散級数どうしの和ですが、これについて収束する場合と発散する場合の双方が存在します。
まずは、発散する級数どうしの和もまた発散する例です。
例（発散する級数どうしの和が発散する場合）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)の一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&ni \\
w_{n} &=&ni
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}=2ni
\end{equation*}です。先に示したように無限級数\(\sum ni\)すなわち\(\sum z_{n}\)と\(\sum w_{n}\)はともに発散します。一方、複素数列\(\left\{ 2ni\right\} \)の虚部の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\mathrm{Im}\left( 2vi\right) \\
&=&\sum_{v=1}^{n}2v \\
&=&2+4+6+\cdots +2n \\
&=&n\left( n+1\right)
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n\left(
n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \mathrm{Im}\left( 2ni\right) \)は発散し、したがって\(\sum 2ni\)すなわち\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)もまた発散します。
w_{n} &=&ni
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}=2ni
\end{equation*}です。先に示したように無限級数\(\sum ni\)すなわち\(\sum z_{n}\)と\(\sum w_{n}\)はともに発散します。一方、複素数列\(\left\{ 2ni\right\} \)の虚部の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\mathrm{Im}\left( 2vi\right) \\
&=&\sum_{v=1}^{n}2v \\
&=&2+4+6+\cdots +2n \\
&=&n\left( n+1\right)
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n\left(
n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \mathrm{Im}\left( 2ni\right) \)は発散し、したがって\(\sum 2ni\)すなわち\(\sum \left( z_{n}+w_{n}\right) \)もまた発散します。
続いて、発散する級数どうしの和が収束する例です。
例（発散する級数どうしの和が発散する場合）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)の一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&ni \\
w_{n} &=&-ni
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この場合、複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}=0
\end{equation*}となります。先に示したように、無限級数\(\sum n\)すなわち\(\sum z_{n}\)は発散します。発散する無限級数の定数倍は発散するため、\(\sum \left(-n\right) \)すなわち\(\sum w_{n}\)は発散します。一方、複素数列\(\left\{ 0\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum 0\)すなわち\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)は収束します。
w_{n} &=&-ni
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この場合、複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}z_{n}+w_{n}=0
\end{equation*}となります。先に示したように、無限級数\(\sum n\)すなわち\(\sum z_{n}\)は発散します。発散する無限級数の定数倍は発散するため、\(\sum \left(-n\right) \)すなわち\(\sum w_{n}\)は発散します。一方、複素数列\(\left\{ 0\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum 0\)すなわち\(\sum \left(z_{n}+w_{n}\right) \)は収束します。
演習問題
問題（複素級数の和）
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ \left( \frac{i}{2}\right) ^{n}+\left( \frac{i}{3}\right) ^{n}\right] \end{equation*}の和を求めてください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ \left( \frac{i}{2}\right) ^{n}+\left( \frac{i}{3}\right) ^{n}\right] \end{equation*}の和を求めてください。
問題（複素級数の和）
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{2^{n}}+\frac{i}{3^{n}}\right)
\end{equation*}の和を求めてください。
\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{2^{n}}+\frac{i}{3^{n}}\right)
\end{equation*}の和を求めてください。
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