WIIS

WIIS

複素平面の位相

複素数集合の集積点・導集合

  1. トップ
  2. 数学
  3. 複素解析
  4. 複素平面の位相
複素級数
複素平面の位相
複素関数
  • 複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cを中心とする任意の近傍がaとは異なるAの点を要素として持つ場合、このような点aをAの集積点と呼びます。また、Aのすべての集積点からなる集合をAの導集合と呼びます。

目次

関連知識

前のページ：

複素数集合の触点・閉包

次のページ：
あとで読む
Mailで保存
Xで共有

複素数集合の集積点と導集合

複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(\mathbb{C} \)上の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}として定義されます。複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{C} \)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の要素を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の集積点（accumulation point）や極限点（limit point）などと呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在することを意味します。以上の定義において、点\(a\)は\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。

逆に、点\(a\in \mathbb{C} \)が集合\(A\subset \mathbb{C} \)の集積点ではないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点ではないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在しないことを意味します。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合（derived set）と呼び、\begin{equation*}
A^{d}
\end{equation*}で表記します。導集合の定義より、任意の\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}z\in A^{d}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
z\right) \cap \left( A\backslash \left\{ z\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。

集合\(A\subset \mathbb{C} \)の集積点\(a\in A^{d}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A\backslash\left\{ a\right\} \subset A\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちますが、これは点\(a\)が集合\(A\)の触点であることの定義に他なりません。つまり、\(a\in A^{a}\)です。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包です。以上より、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}
\end{equation*}であることが明らかになりました。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の触点であるということです。さらに、触点は内点もしくは境界点であるため、すなわち、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界です。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の内点または境界点であるということです。

結論をまとめると以下の命題を得ます。

命題（集合の集積点は内点または境界点）
複素平面\(\mathbb{C} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。

以上の命題より、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の内点または境界点のどちらか一方であることが明らかになりました。では、逆の主張は成り立つでしょうか。まず、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の内点は集積点であることが保証されます。

命題（集合の内点は集積点）
複素平面\(\mathbb{C} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

他方で、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（集積点ではない境界点）
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{f}=\left\{ a\right\}
\end{equation*}であるため、\(a\)は\(\left\{a\right\} \)の境界点です。その一方で、\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)とは異なる\(\left\{ a\right\} \)の点を要素として持ちません。したがって\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。

ただし、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の境界点が\(A\)の要素ではない場合には、その境界点は必ず\(A\)の集積点になります。

命題（集合の境界点が集積点であるための条件）
複素平面\(\mathbb{C} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{f}\cap A^{c}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界点である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

これまでの議論を整理しましょう。複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は\(A\)の内点または境界点になることが保証されるため、集積点を探す際には内点と境界点だけを候補とすることができます。また、\(A\)のすべての内点は集積点であることが保証されます。一方、\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。\(A\)の要素ではない\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になることが保証されますが、\(A\)の要素であるような\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になるとは限りません。つまり、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)のすべての集積点を特定する上で以下の指針が役に立ちます。

  1. \(A\)の内点はいずれも\(A\)の集積点である。
  2. \(A\)の要素ではない\(A\)の境界点はいずれも\(A\)の集積点である。
  3. \(A\)の要素である\(A\)の境界点は\(A\)の集積点である場合とそうでない場合がある（ここだけチェックが必要）。
  4. それ以外には\(A\)の集積点は存在しない。
例（点の近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（点の閉近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（1点集合の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（1点集合の補集合の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{C} \backslash \left\{ a\right\} \end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( \mathbb{C} \backslash \left\{ a\right\} \right) ^{d}=\mathbb{C} \end{equation*}となります（演習問題）。

例（無限大の近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert >\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（下半平面の導集合）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) <0\right\}
\end{equation*}の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（無限垂直領域の導集合）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1<\mathrm{Re}\left( z\right) <1\right\}
\end{equation*}の閉包は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。

例（複素平面の導集合）
複素平面\(\mathbb{C} \)は自身\(\mathbb{C} \)の部分集合であるため\(\mathbb{C} \)の導集合も定義可能です。\(\mathbb{C} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{C} ^{d}=\mathbb{C} \end{equation*}となります（演習問題）。
例（空集合の導集合）
空集合は任意の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{C} \)であり、したがって\(\phi \)の導集合も定義可能です。\(\phi \)の導集合は、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}となります（演習問題）。

 

複素数列を用いた集積点の定義

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{C} \)が\(A\)の集積点であることを判定する方法としては、集積点の定義にもとづいて確認する方法や、先の指針にもとづいて確認する方法などがあります。ただ、集積点は複素数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が集積点であることを容易に判定できる場合があります。順を追って説明します。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに、すべて項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)に収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、点\(a\)が集合\(A\)の集積点である場合には、以上の性質を満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が必ず存在します。

命題（集積点と複素数列）
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の集積点であるならば、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する複素数列が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が存在する場合、この点\(a\)は集合\(A\)の集積点になることが保証されます。

命題（集積点と複素数列）
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の集積点である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

以上の2つの命題より、集積点という概念は複素数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題（複素数列を用いた集積点の定義）
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在することは、\(a\)が\(A\)の集積点であるための必要十分条件である。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(\left\{ z_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(a\)とは異なる\(A\)上の点をたどりながら点\(a\)へ限りなく近づくことが必ず可能です。

 

複素数列を用いて集積点であることを判定する

先の命題より、集積点に関する議論を複素数列の収束に関する議論に置き換えることができます。つまり、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{C} \)が\(A\)の集積点であることを示すためには、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列を具体的に提示すればよいということになります。

例（複素数列を用いて集積点であることを判定する）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}ですが、同じことを複素数列を用いて示します。まずは、点\(a\in \mathbb{C} \)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であることを示します。そこで、\(\left\vert a-b\right\vert=\varepsilon \)を満たす\(b\in \mathbb{C} \)を選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}z_{n}=a+\frac{b-a}{n+1}
\end{equation*}である複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)に注目します。明らかに、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=a
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\left\vert z_{n}-a\right\vert &=&\left\vert a+\frac{b-a}{n+1}-a\right\vert
\\
&=&\left\vert \frac{b-a}{n+1}\right\vert \\
&=&\frac{\varepsilon }{n+1}\quad \because \left\vert a-b\right\vert
=\varepsilon \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}であるため\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)上の複素数列です。しかも、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( a+\frac{b-a}{n+1}\right) \\
&=&a
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(a\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点です。続いて、\(\left\vert b-a\right\vert\leq \varepsilon \)かつ\(b\not=a\)を満たす点\(b\in \mathbb{C} \)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の触点であることを示します。そこで、一般項が、\begin{equation*}z_{n}=b+\frac{a-b}{n+1}
\end{equation*}である複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)に注目します。明らかに、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=b
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\left\vert z_{n}-a\right\vert &=&\left\vert b+\frac{a-b}{n+1}-a\right\vert
\\
&=&\left\vert \frac{\left( b-a\right) n}{n+1}\right\vert \\
&\leq &\varepsilon \cdot \frac{n}{n+1}\quad \because \left\vert
b-a\right\vert \leq \varepsilon \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}であるため\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)上の複素数列です。しかも、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( b+\frac{a-b}{n+1}\right) \\
&=&b
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(b\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点です。以上より、\(\left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \)を満たす任意の\(z\in \mathbb{C} \)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であることが明らかになりました。

 

複素数列を用いて集積点ではないことを判定する

繰り返しになりますが、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在することと必要十分です。したがって、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在しないことを示せば、\(a\)が\(A\)の集積点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する複素数列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(a\)は\(A\)の集積点ではないことになります。

例（複素数列を用いて集積点ではないことを判定する）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert >\varepsilon \right\}
\end{equation*}上の任意の点が\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の集積点ではないことを複素数列を用いて示します。そこで、点\(b\in A\)を任意に選びます。\(A\)の定義より、\begin{equation}\left\vert b-a\right\vert >\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(b\)が\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の集積点である場合、任意の項が\(b\)とは異なる\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素であるとともに\(b\)へ収束する複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)が存在します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=b \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=b
\end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が存在するということです。\(\left( b\right) \)より、この複素数列の極限についても、\begin{equation*}\left\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( c\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert b-a\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}を得ます。これは\(\left(1\right) \)と矛盾であるため、背理法より\(b\)は\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の集積点ではないことが明らかになりました。

 

導集合を用いた閉集合の定義

閉包と導集合の関係を整理しておきましょう。複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られます。

命題（導集合と閉包の関係）
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であるための必要十分条件ですが、先の命題を踏まえると、このとき、\begin{eqnarray*}A^{a}=A &\Leftrightarrow &A\cup A^{d}=A\quad \because A^{a}=A\cup A^{d} \\
&\Leftrightarrow &A\cup A^{d}\subset A\quad \because A\subset A\cup A^{d}\text{は恒真} \\
&\Leftrightarrow &A^{d}\subset A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=A\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の導集合が\(A\)の部分集合であることと\(A\)が閉集合であることは必要十分です。

命題（導集合による閉集合の定義）
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことと、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることは必要十分である。

以上の命題は、閉集合という概念が導集合という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)に対して、その導集合\(A^{d}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。

 

導集合を用いた閉集合であることの判定

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。

例（点の閉近傍は閉集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}\subset \left(
C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}
\end{equation*}が成立しています。したがって\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合です。
例（1点集合は閉集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}\subset \left\{ a\right\}
\end{equation*}が成立しています。したがって\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合です。
例（複素平面は閉集合）
複素平面\(\mathbb{C} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{C} ^{d}=\mathbb{C} \end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}\mathbb{C} ^{d}\subset \mathbb{C} \end{equation*}が成立しています。したがって\(\mathbb{C} \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合です。
例（空集合は閉集合）
空集合\(\phi \subset \mathbb{C} \)の導集合は、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\phi ^{d}\subset \phi
\end{equation*}が成立しています。したがって\(\phi \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合です。

 

導集合を用いた閉集合ではないことの判定

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{d}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の集積点の中に\(A\)の要素ではないものが存在することを示せばよいということになります。

例（点の近傍は閉集合ではない）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではありません。
例（無限大の近傍は閉集合ではない）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert >\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではありません。
例（下半平面は閉集合ではない）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) <0\right\}
\end{equation*}の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではありません。
例（無限垂直領域は閉集合ではない）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1<\mathrm{Re}\left( z\right) <1\right\}
\end{equation*}の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではありません。

 

演習問題

問題（点の近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（点の閉近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（1点集合の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（1点集合の補集合の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{C} \backslash \left\{ a\right\} \end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( \mathbb{C} \backslash \left\{ a\right\} \right) ^{d}=\mathbb{C} \end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（無限大の近傍の導集合）
複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert >\varepsilon \right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{a}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（下半平面の導集合）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) <0\right\}
\end{equation*}の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（無限垂直領域の導集合）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1<\mathrm{Re}\left( z\right) <1\right\}
\end{equation*}の閉包は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ -1\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（複素平面の導集合）
複素平面\(\mathbb{C} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{C} ^{d}=\mathbb{C} \end{equation*}であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（空集合の導集合）
空集合\(\phi \subset \mathbb{C} \)の導集合は、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

関連知識

前のページ：

複素数集合の触点・閉包

次のページ：
あとで読む
Mailで保存
Xで共有
複素級数
複素平面の位相
複素関数

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

【会員登録】

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ（命題の証明や演習問題とその解答）へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

目次
質問
アカウント

LEARN MORE

さらに深く学びたい人のための会員サービス

会員登録

有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。

よくある質問

皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。

論理

集合

実数

ユークリッド空間

微分積分

測度

確率

ミクロ経済学
ゲーム理論
オークション理論
マッチング理論
思想
歴史
複素数の定義
複素数列
複素級数
複素平面の位相
開集合・閉集合
内部・外部・境界
触点・集積点・孤立点
確認テスト
複素関数
アカウント
ツール
システム
使い方