複素数集合の境界点・境界

複素数集合の境界点と境界

複素平面上の点\(a\in \mathbb{C} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(\mathbb{C} \)上の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}として定義されます。複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{C} \)の任意の近傍が集合\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点（frontier point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界（frontier）と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial \left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。境界の定義より、任意の点\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}z\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}\left( z\right) \cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }\left( z\right) \cap
A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の境界点\(a\in A^{f}\)が与えられたとき、境界点の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(a\in \left( A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in A^{f}\Leftrightarrow a\in \left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A\)の補集合の境界点であることは必要十分です。集合\(A\)とその補集合\(A^{c}\)は同一の境界を共有するということです。したがって、集合\(A\)の境界を特定する代わりにその補集合\(A^{c}\)の境界を特定しても問題はありません。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であること、すなわち\(a\in A^{f}\)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\)が成り立つことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}=\phi \vee N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left( A^{c}\right)
^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分です。さらに、任意の集合\(X,Y\)について、\begin{equation*}X\cap Y^{c}=\phi \Leftrightarrow X\subset Y
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、先の命題は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A\vee
N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
A\right) \vee \left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}\right)
\end{equation*}と必要十分ですが、これが点\(a\)が集合\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(a\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。

以上の命題を踏まえると、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(a\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点や外点ではない場合、その点\(a\)は集合\(A\)の境界点であることが確定します。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{C} \)上の点として定義できます。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、\(A\)の外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。一方、集合\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が起こり得ます。以下の例より明らかです。

外点は存在するとは限らない

複素平面の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

内部・外部・境界の関係

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{C} \)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{C} \)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{C} \right) \)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathcal{O}\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{C} \right) \)から間接的に定義可能な概念ということになります。

境界を用いた閉集合の定義

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}\subset A
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで以上の包含関係が成り立つのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることは必要十分です。

境界を用いた閉集合であることの判定

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示してもよいということになります。

境界を用いた閉集合ではないことの判定

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の命題\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{C} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{f}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示してもよいということになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合です。

ちなみに、\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{f}\not\subset A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

境界は閉集合

複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。集合\(A\)の内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(\mathbb{C} \)上の開集合であり、開集合どうしの和集合は開集合であるため\(A^{i}\cup A^{e}\)は開集合です。したがって、それと一致する\(\left( A^{f}\right) ^{c}\)は開集合であるため、その補集合である境界\(A^{f}\)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{C} \)の任意の部分集合の境界は\(\mathbb{C} \)上の閉集合であるということです。

演習問題