複素平面上の点の近傍・近傍系

複素平面上の点の近傍

複素平面に属する2つの点\(z,w\in \mathbb{C} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(z\)から\(w\)への距離は、\begin{equation*}d\left( z,w\right) =\left\vert z-w\right\vert
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(z\)から\(w\)への距離は\(z\)と\(w\)の差の絶対値と等しい概念です。

複素平面上の点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{C} \)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ d\left( z,z_{0}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(z_{0}\)の近傍（neighborhood of \(z_{0}\)）や開近傍（open neighborhood of \(z_{0}\)）などと呼びます。また、\(z_{0}\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。

点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍を、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ d\left( z,z_{0}\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-z_{0}\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because
\text{距離の定義} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( z_{0}\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( z_{0}\right) \right] ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left[ \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( z_{0}\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( z_{0}\right) \right] ^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。つまり、点\(z_{0}\)の近傍は複素平面上の点\(z_{0}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の円の内部と実質的に等しい概念です。円上の点は近傍に属さないことに注意してください。

複素平面上の点の近傍系

点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(z_{0}\)の近傍\(N_{\varepsilon}\left( z_{0}\right) \)が得られます。そこで、点\(z_{0}\)の近傍をすべて集めることによりできる集合族を、\begin{equation*}N\left( z_{0}\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) \ |\
0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(z_{0}\)の近傍系（neighborhood system of \(z_{0}\)）と呼びます。

点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( z_{0},z_{0}\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
z_{0}\in N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right)
\end{equation*}であることを意味します。点\(z_{0}\)の近傍は中心を要素として持つということです。任意の半径\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:z_{0}\in N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
z_{0}\in \bigcap\limits_{\varepsilon >0}N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z_{0}\in \bigcap N\left( z_{0}\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(z_{0}\)は自身の近傍系\(N\left( z_{0}\right) \)の共通部分の要素です。さらに、点\(z_{0}\)の近傍系\(N\left( z_{0}\right) \)の共通部分の要素は点\(z_{0}\)以外に存在しません（演習問題）。したがって以下を得ます。

複素平面上の点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)の近傍系\(N\left( z_{0}\right) \)の要素、すなわち点\(z_{0}\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left(z_{0}\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( z_{0}\right) \)でそれぞれ表記します。近傍の定義より\(\varepsilon_{1}>0\)かつ\(\varepsilon _{2}>0\)です。このとき、この2つの近傍の双方に含まれる点\(z_{0}\)の近傍が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( z_{0}\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left(
z_{0}\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。

以上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\forall A\in N\left( z_{0}\right) ,\ \forall B\in N\left( z_{0}\right) ,\
\exists C\in N\left( z_{0}\right) :C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。つまり、点\(z_{0}\)の近傍系\(N\left(z_{0}\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( z_{0}\right) \)の要素が必ず存在するということです。このような意味において、この命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。

複素平面の近傍系

点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left(z_{0}\right) \)が得られます。そこで、\(\mathbb{C} \)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( z_{0}\right) \ |\ z_{0}\in \mathbb{C} \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{C} \)の近傍系（neighbourhood system of \(\mathbb{C} \)）と呼びます。

複素平面上の点\(z_{0}\in \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) \)をとります。この近傍に属する点\(z\in N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) \)を任意に選んだとき、この点\(z\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon }\left(z_{0}\right) \)の部分集合であるようなものが必ず存在します。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall z\in N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right) ,\ \exists \delta
>0:N_{\delta }\left( z\right) \subset N_{\varepsilon }\left( z_{0}\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。

複素ユークリッド空間の部分距離空間の点の近傍

複素ユークリッド空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は複素数を成分とするそれぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して、以下の実数\begin{equation*}d\left( z,w\right) =\left\vert z-w\right\vert
\end{equation*}を値として定めます。ユークリッド距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left[ d(z,w)=0\Leftrightarrow z=w\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) =d\left( w,z\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) \leq d\left( z,v\right) +d\left( v,w\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(A\times A\)へ制限して\begin{equation*}d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とすれば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( z,w\right) \in A\times A:d_{A}\left( z,w\right) =d\left(
z,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{A}\)を定義すれば、この\(d_{A}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall z,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall z,w\in A:\left[ d_{A}(z,w)=0\Leftrightarrow
z=w\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall z,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) =d_{A}\left(
w,z\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall z,v,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) \leq
d_{A}\left( z,v\right) +d_{A}\left( v,w\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( A,d_{A}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。

部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その点の近傍を定義できます。具体的には以下の通りです。

複素ユークリッド空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(A,d_{A}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in A\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(A\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{A}\left( a\right) &=&\left\{ z\in A\ |\ d_{A}\left(
z,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ z\in A\ |\ d\left( z,a\right) <\varepsilon \right\} \quad
\because d_{A}\text{の定義} \\
&=&\left\{ z\in A\ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad
\because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。ちなみに、\(A\subset \mathbb{C} \)ゆえに\(a\in \mathbb{C} \)であるため、もとの空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)上においてもこの点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ d\left( z,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとることができます。

同一の点\(a\in A\subset \mathbb{C} \)と半径\(\varepsilon >0\)を問題としている場合においても、部分距離空間\(A\)における点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }^{A}\left( a\right) \)と、もとの空間\(\mathbb{C} \)におけるその点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題