複素数列を用いて閉集合であることを判定する
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合として定義されます。さらに、\(A^{c}\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\(A^{c}\)の点\(a\)を任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが必ず存在することを意味します。ちなみに、点の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。ただ、\(A\)が閉集合であることを示すために以上のことを証明するのは面倒です。閉集合は複素数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を用いた方が閉集合であることを容易に示すことができる場合があります。順を追って説明します。
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられているものとします。その上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般に、このような複素数列の極限は\(A\)上の点であるとは限りません。しかし、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上の閉集合である場合には、このような複素数列の極限は必ず\(A\)上の点になります。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つということです。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が与えられた状況において、\(A\)の点を項とするとともに収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような複素数列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、このような複素数列の極限が必ず\(A\)の点になる場合には、\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることが保証されます。
この命題について注意しなければならないのは、\(A\)の点を項とする「任意の」収束列\(\left\{ z_{n}\right\} \)に対して、その極限が\(A\)の点になることが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす収束列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。
以上の2つの命題より、閉集合という概念は複素数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
上の命題より、閉集合に関する議論を複素数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。
\end{equation*}を構成します。この集合が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることを複素数列を用いて示します。具体的には、集合\(\left\{ z\right\} \)の要素を項とする複素数列としては定数複素数列\begin{equation*}\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ z\right\}
\end{equation*}だけが存在するとともに、この複素数列は明らかに収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }z \\
&=&z \\
&\in &\left\{ z\right\}
\end{eqnarray*}を満たします。したがって先の命題より、\(\left\{ z\right\} \)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることが明らかになりました。
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) \leq \mathrm{Re}\left( z\right) \right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることを複素数列を用いて示します。そこで、集合\(A\)の要素を項とする複素数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \leq \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left( b\right) \)が成り立つことは、実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left(z_{n}\right) \right\} ,\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。\(\left( a\right) ,\left( b_{1}\right) ,\left( b_{2}\right) \)および収束実数列の性質より、実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left(z_{n}\right) \right\} ,\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)の極限の間にも、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \leq
\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。集合\(A\)の定義より、以上の事実は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \in A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって先の命題より、\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることが明らかになりました。
複素数列を用いて閉集合ではないことを判定する
複素平面\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることは、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限が\(A\)の点であることと必要十分であることが明らかになりました。したがって、\(A\)の点を項とする収束列\(\left\{z_{n}\right\} \)の中にその極限が\(A\)の点ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合ではありません。
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 0<\mathrm{Re}\left( z\right) \wedge 0<\mathrm{Im}\left( z\right) \right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではないことを複素数列を用いて示します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n}+i\frac{1}{n}
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) &=&\frac{1}{n}>0 \\
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) &=&\frac{1}{n}>0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(A\)の定義より、\begin{equation*}z_{n}\in A
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\frac{1}{n}+i\frac{1}{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&0 \\
&\not\in &A
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(A\)は\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではないことが明らかになりました。
演習問題
A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{C} \)上の閉集合であることを複素数列を用いて証明してください。
\end{equation*}と定義されますが、これが\(\mathbb{C} \)上の閉集合ではないことを複素数列を用いて証明してください。
