1変数の凸関数・凹関数
定義域が区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
1変数の凸関数・凹関数
1変数関数が凸関数ないし凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。
微分を用いた1変数の凸関数・凹関数の判定
微分可能な関数が凸関数であることは、導関数が単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が凹関数であることは、導関数が単調減少関数であることと必要十分です。
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定
1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。
1変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
1変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において微分可能である場合、そこでの劣勾配と微分係数は概念として一致することを示します。
SECTION 2
1変数の狭義凸関数・狭義凹関数
1変数関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。
1変数の狭義凸関数・狭義凹関数
定義域が区間であるとともに、そのグラフが谷型の曲線になるような関数を狭義凸関数と呼び、グラフが山型の曲線になるような関数を狭義凹関数と呼びます。
微分を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
微分可能な関数が狭義凸関数であることは、導関数が狭義単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が狭義凹関数であることは、導関数が狭義単調減少関数であることと必要十分です。
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。
SECTION 3
多変数の凸関数・凹関数
多変数関数が凸関数ないし凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。
多変数の凸関数・凹関数
定義域がユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが平面もしくは下に凸であるような関数を凸関数と呼びます。また、グラフが平面もしくは上に凸であるよう関数を凹関数と呼びます。
エピグラフやハイポグラフを用いた多変数の凸関数・凹関数の判定
多変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、多変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。
多変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
多変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において全微分可能である場合、そこでの劣勾配と勾配ベクトルは概念として一致することを示します。
SECTION 4
多変数の狭義凸関数・狭義凹関数
多変数関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。
多変数の狭義凸関数・狭義凹関数
定義域がユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが下に凸であるような関数を狭義凸関数と呼びます。また、グラフが上に凸であるよう関数を狭義凹関数と呼びます。
SECTION 5
凸関数・凹関数の性質
凸関数や凹関数の基本的な性質について解説します。
凸関数・凹関数の合成関数
凸関数どうしの合成関数が凸関数になるための条件、凹関数どうしの合成関数が凹関数になるための条件、凸関数と凹関数の合成関数が凸関数ないし凹関数になるための条件などを明らかにします。
SECTION 6
代表的な凸関数・凹関数
代表的な凸関数および凹関数を紹介します。
SECTION 7
凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
凸関数や凹関数に関して劣勾配と呼ばれる概念を定義します。これは後に凸最適化について考える際に重要な役割を果たします。
1変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
1変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において微分可能である場合、そこでの劣勾配と微分係数は概念として一致することを示します。
多変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
多変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において全微分可能である場合、そこでの劣勾配と勾配ベクトルは概念として一致することを示します。
SECTION 6
凸関数・凹関数の性質
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RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
本稿では凸集合を定義する舞台としてユークリッド空間を採用しました。ユークリッド空間について馴染みがない場合には以下から学んでください。
ユークリッド空間
ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像（ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数）の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
凸集合の集合演算に関する性質について解説します。
凸関数・凹関数
凸関数（凹関数）と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数（凹関数）であることを判定する方法や、凸関数（凹関数）の基本的な性質について解説します。
