1変数の凸関数・凹関数
定義域が区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。
TABLE OF CONTENTS
目次
ONE VARIABLE CONVEX FUNCTION
1変数の凸関数・凹関数
1変数関数が凸関数ないし凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。
拡大実数値をとる1変数の凸関数・凹関数
拡大実数値関数が凸関数や凹関数であることの意味を定義するとともに、それらと実数値をとる凸関数および凹関数との関係を整理します。
イェンゼンの不等式を用いた1変数の凸関数・凹関数の特徴づけ
区間上に定義された1変数関数が凸関数であることと、その関数がイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
微分を用いた1変数の凸関数・凹関数の判定
微分可能な関数が凸関数であることは、導関数が単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が凹関数であることは、導関数が単調減少関数であることと必要十分です。
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定
1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。
ONE VARIABLE STRICTLY CONVEX FUNCTION
1変数の狭義凸関数・狭義凹関数
1変数関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。
1変数の狭義凸関数・狭義凹関数
定義域が区間であるとともに、そのグラフが谷型の曲線になるような関数を狭義凸関数と呼び、グラフが山型の曲線になるような関数を狭義凹関数と呼びます。
イェンゼンの不等式を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の特徴づけ
区間上に定義された1変数関数が狭義凸関数であることと、その関数が狭義のイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
微分を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
微分可能な関数が狭義凸関数であることは、導関数が狭義単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が狭義凹関数であることは、導関数が狭義単調減少関数であることと必要十分です。
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。
MULTI VARIABLES CONVEX FUNCTION
多変数の凸関数・凹関数
多変数関数が凸関数ないし凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。
多変数の凸関数・凹関数
定義域がユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが平面もしくは下に凸であるような関数を凸関数と呼びます。また、グラフが平面もしくは上に凸であるよう関数を凹関数と呼びます。
イェンゼンの不等式を用いた多変数の凸関数・凹関数の特徴づけ
凸集合上に定義された多変数関数が凸関数であることと、その関数がイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
偏微分を用いた多変数の凸関数・凹関数の判定
偏微分可能な多変数関数が凸関数や凹関数であることを判定する方法について解説します。
エピグラフやハイポグラフを用いた多変数の凸関数・凹関数の判定
多変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、多変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。
多変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
多変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において全微分可能である場合、そこでの劣勾配と勾配ベクトルは概念として一致することを示します。
MULTI VARIABLES STRICTLY CONVEX FUNCTION
多変数の狭義凸関数・凹関数
多変数関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、与えられた関数が狭義凸関数ないし狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。
多変数の狭義凸関数・狭義凹関数
定義域がユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが下に凸であるような関数を狭義凸関数と呼びます。また、グラフが上に凸であるよう関数を狭義凹関数と呼びます。
イェンゼンの不等式を用いた多変数の狭義凸関数・狭義凹関数の特徴づけ
凸集合上に定義された多変数関数が狭義凸関数であることと、その関数が狭義のイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
偏微分を用いた多変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
偏微分可能な多変数関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。
拡大実数値をとる多変数の狭義凸関数・狭義凹関数
多変数の拡大実数値関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、それらと実数値をとる狭義凸関数および狭義凹関数との関係を整理します。
PROPERTIES OF CONVEX FUNCTION
凸関数・凹関数の性質
凸関数や凹関数の基本的な性質について解説します。
ヘルダーの不等式（凸関数と不等式）
凸関数に関するイェンゼンの不等式から算術平均と幾何平均の間に成立する不等式が導かれ、さらにそこからヘルダーの不等式が導かれ、さらにそこからコーシー・シュワルツの不等式や三角不等式が導かれます。
凸関数・凹関数の定数倍
凸関数の正の定数倍として定義される関数は凸関数であり、凹関数の正の定数倍として定義される関数は凹関数です。
凸関数・凹関数のどうしの和
凸関数どうしの和として定義される関数は凸関数であり、凹関数どうしの和として定義される関数は凹関数です。
凸関数・凹関数との合成関数
凸関数どうしの合成関数が凸関数になるための条件、凹関数どうしの合成関数が凹関数になるための条件、凸関数と凹関数の合成関数が凸関数ないし凹関数になるための条件などを明らかにします。
凸関数・凹関数の逆関数
凸関数や凹関数の逆関数が存在する場合、その逆関数もまた凸関数や凹関数になるための条件を明らかにします。
凸関数族の最大値・凹関数族の最小値
複数の凸集合から定義される最大値関数は凸関数であり、複数の凹関数から定義される最小値関数は凹関数です。
EXAMPLES OF CONVEX FUNCTION
代表的な凸関数・凹関数
代表的な凸関数および凹関数を紹介します。
アフィン関数は凸関数かつ凹関数
1変数ないし多変数のアフィン関数は凸関数かつ凹関数です。
指数関数は狭義凸関数
自然指数関数や一般の指数関数はいずれも狭義凸関数です。
対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数
底が1より小さい対数関数は狭義凸関数であり、底が1より大きい対数関数は狭義凹関数です。
実数ベキ関数は狭義凸関数または狭義凹関数
指数が1より大きいか0より小さい実数ベキ関数は狭義凸関数であり、底が0より大きく1より小さい実数ベキ関数は狭義凹関数です。
絶対値関数は凸関数
絶対値関数は凸関数です。また、指数が1より大きい絶対値関数の実数乗は狭義凸関数です。
ノルム関数は凸関数
ノルム関数は凸関数です。また、指数が1より大きいノルム関数の実数乗は狭義凸関数です。
SUBDIFFERENTIAL OF CONVEX FUNCTION
凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
凸関数や凹関数に関して劣勾配と呼ばれる概念を定義します。これは後に凸最適化について考える際に重要な役割を果たします。
1変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
1変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において微分可能である場合、そこでの劣勾配と微分係数は概念として一致することを示します。
多変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分
多変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において全微分可能である場合、そこでの劣勾配と勾配ベクトルは概念として一致することを示します。
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関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
ユークリッド空間
ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像（ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数）の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。
線型代数
LINEAR ALGEBRA 線型代数 微分積分 数学 凸解析 OVERVIEW 線型代数とは何か 線型代数に関する教材です。 OUTLINE 教材 会員登録 微分積分 数学 凸解析 ABOUT ワイズについて ワイズの
微分積分
微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
