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CONVEX FUNCTION / CONCAVE FUNCTION

凸関数

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

凸関数について学びます。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

凸関数・凹関数

凸関数や凹関数などの概念を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。

1変数の凸関数・凹関数

定義域が区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。

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微分可能な1変数の凸関数・凹関数

微分可能な関数が凸関数であることは、導関数が単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が凹関数であることは、導関数が単調減少関数であることと必要十分です。

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多変数の凸関数・凹関数

定義域がユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが平面もしくは下に凸であるような関数を凸関数と呼びます。また、グラフが平面もしくは上に凸であるよう関数を凹関数と呼びます。

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SECTION 2

凸関数・凹関数の性質

準備中です。

SECTION 3

凸関数・凹関数の性質

準備中です。

SECTION 4

準凸関数・準凹関数

準備中です。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本稿では凸集合を定義する舞台としてユークリッド空間を採用しました。ユークリッド空間について馴染みがない場合には以下から学んでください。

ユークリッド空間

ユークリッド空間や点列、位相、および各種の写像(曲線・スカラー場・ベクトル場)などについて解説します。具体的には、有限個の実数空間の直積として多次元空間を定義した上で、そこに演算、順序、距離などの概念を導入します。さらにユークリッド空間の位相や点列の極限、各種写像の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ上での土台となります。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

凸集合の集合演算に関する性質について解説します。

凸関数

凸関数(凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数(凹関数)であることを判定する方法や、凸関数(凹関数)の基本的な性質について解説します。

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