確認テスト II（凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =4x+6y-2x^{2}-2xy-2y^{2}+41
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の凹凸を判定してください。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
+\infty & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数であることを証明してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)およびスカラー\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}+b\end{equation*}と表される場合、\(f\)をアフィン関数と呼びます。アフィン関数のエピグラフが半空間であることを示してください。
2. 関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \geq 0:f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
   \end{equation*}を満たす場合、\(f\)を正の1次同次関数と呼びます。正の1次同次関数のエピグラフが錐であることを示してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が上に有界な凸関数である場合、\(f\)は定数関数であることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であり、関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であるとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:g\left( \boldsymbol{x}\right) \leq f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の問いに答えてください（各15点）。

1. \(f\)のエピグラフ\(\mathrm{epi}\left(f\right) \)の内部を\(\mathrm{epi}\left( f\right) ^{i}\)で表記し、\(g\)のハイポグラフを\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)を表記します。\(\mathrm{epi}\left( f\right) ^{i}\)と\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)を分離する超平面が存在することを示してください。
2. 以上を踏まえた上で、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:g\left( \boldsymbol{x}\right) \leq h\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
   f\left( \boldsymbol{x}\right)
   \end{equation*}を満たすアフィン関数\(h:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示してください。