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凸関数・凹関数

指数関数は凸関数

目次

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指数関数は狭義凸関数

区間上に定義された1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(f\)は自然指数関数です。自然指数関数は狭義凸関数であるため\(f\)は狭義凸関数です。狭義凸関数は凸関数であるため\(f\)は凸関数でもあります。

問題(指数関数は狭義凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は狭義凸関数である。
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例(自然指数関数)
自然指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の区間であり、なおかつ\(f\)は自然指数関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は一般の指数関数です。底\(a\)の値によらず、一般の指数関数もまた狭義凸関数です。

問題(指数関数は狭義凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\)の値によらず、\(f\)は狭義凸関数である。
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例(指数関数)
指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)です。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の区間であり、なおかつ\(f\)は指数関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
例(指数関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は指数関数であるため、先の命題より、\(f\)は狭義凸関数です。
例(指数関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は指数関数であるため、先の命題より、\(f\)は狭義凸関数です。
例(指数関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =-a^{x}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)です。関数\(f\)が狭義凹関数であることと関数\(-f\)が狭義凸関数であることは必要十分です。\(-f\left( x\right) =a^{x}\)は狭義凸関数であるため、この関数\(f\)は狭義凹関数です。
例(指数関数と凸関数の和)
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凸関数であり少なくとも一方が狭義凸関数である場合には\(f+g\)は凸関数であるため、\(f\)が指数関数で\(g\)が凸関数ならば\(f+g\)は狭義凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は狭義凸関数です(演習問題)。
例(指数関数と1変数の凸関数の合成関数)
区間上に定義された関数である\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( I\right) \subset J\)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加(単調非減少)の凸関数である場合に\(g\circ f\)は凸関数であるため、\(f\)が指数関数で\(g\)が単調増加の凸関数ならば\(g\circ f\)は凸関数です。\(a>1\)の場合の指数関数\(a^{x}\)は単調増加関数であるため、\(f\)が凸関数であり\(g\)が底が\(1\)より大きい指数関数ならば\(g\circ f\)は凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{2x+1}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)や、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はいずれも凸関数です(演習問題)。
例(指数関数と多変数の凸関数の合成関数)
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と区間上に定義された1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset I\)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が多変数の凸関数であり\(g\)が1変数の単調増加(単調非減少)な凸関数である場合に\(g\circ f\)は凸関数です。\(a>1\)の場合の指数関数\(a^{x}\)は単調増加関数であるため、\(f\)が多変数の凸関数であり\(g\)が底が\(1\)より大きい指数関数ならば\(g\circ f\)は凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{x+y}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です(演習問題)。

 

演習問題

問題(指数関数と凸関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
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問題(指数関数どうしの和)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2^{x}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
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問題(指数関数と凸関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
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問題(指数関数と凸関数の合成関数)
それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{2x+1}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることを示してください。
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問題(指数関数と1変数の凸関数の合成関数)
それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることを示してください。
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問題(指数関数と1変数の凸関数の合成関数)