ヘルダーの不等式（凸関数と不等式）

算術平均と幾何平均の関係

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して以下の実数\begin{equation*}f\left( x\right) =-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。この関数\(f\)は狭義凸関数です。

関数\(f\left( x\right) =-\ln \left( x\right) \)は定義域である区間\(\mathbb{R} _{++}\)上において狭義凸関数であることが明らかになりました。したがって、\(f\)は狭義のイェンゼンの不等式を満たします。つまり、2以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)および\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} _{++}\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の不等式\begin{equation}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) >f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が必ず成り立ちます。

特に、\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} _{+}\)かつ\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)の中に一致するものが存在する状況を認める場合、\(k=1\)ならば\(\lambda =1\)であるとともに、その場合には点\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の選び方とは関係なく\(\left( 1\right) \)の両辺は一致します。また、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)の中の少なくとも1つが\(1\)である場合には、点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} _{+}\)の選び方とは関係なく\(\left( 1\right) \)の両辺は一致します。また、条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} _{+}\)がすべて一致することと\(\left( 1\right) \)の両辺が一致することは必要十分です。

以上を踏まえると以下を得ます。

先の命題においてスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{k}=\frac{1}{k}
\end{equation*}と定めることにより、\begin{equation*}
\left( \prod_{i=1}^{k}x_{i}\right) ^{\frac{1}{k}}\leq \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}x_{i}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(k\)個の非負の実数について、それらの算術平均（右辺）は幾何平均（左辺）以上になります。

冒頭の命題において、\begin{equation*}
k=2
\end{equation*}とすることにより、\begin{equation*}
x_{1}^{\lambda _{1}}\cdot x_{2}^{\lambda _{2}}\leq \lambda _{1}x_{1}+\lambda
_{2}x_{2}
\end{equation*}を得ます。右辺は算術平均の一般化であり、左辺は幾何平均の一般化です。

ヘルダーの不等式

2つの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)および以下の条件\begin{equation*}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
\end{equation*}を満たす2つの正の実数\(p,q\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選びます。その上で、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{\left\vert a_{i}\right\vert ^{p}}{\sum_{j=1}^{n}\left\vert
a_{j}\right\vert ^{p}}>0 \\
y_{2} &=&\frac{\left\vert b_{i}\right\vert ^{q}}{\sum_{j=1}^{n}\left\vert
b_{j}\right\vert ^{q}}>0 \\
\lambda _{1} &=&\frac{1}{p}\in \left( 0,1\right) \\
\lambda _{2} &=&\frac{1}{q}\in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}と定義すると、算術平均と幾何平均の関係を一般化した先の命題より、\begin{equation*}
x_{1}^{\lambda _{1}}\cdot x_{2}^{\lambda _{2}}\leq \lambda _{1}x_{1}+\lambda
_{2}x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{\left\vert a_{i}\right\vert ^{p}}{\sum_{j=1}^{n}\left\vert
a_{j}\right\vert ^{p}}\right) ^{\frac{1}{p}}\cdot \left( \frac{\left\vert
b_{i}\right\vert ^{q}}{\sum_{j=1}^{n}\left\vert b_{j}\right\vert ^{q}}\right) ^{\frac{1}{q}}\leq \frac{\left\vert a_{i}\right\vert ^{p}}{p\sum_{j=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{p}}+\frac{\left\vert
b_{i}\right\vert ^{q}}{q\sum_{j=1}^{n}\left\vert b_{j}\right\vert ^{q}}
\end{equation*}を得ます。任意の\(i\in\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について同様であるため、両辺を\(i\)について加えることにより以下を得ます。これをヘルダーの不等式（Hölder’s inequality）と呼びます。

コーシー・シュワルツの不等式

ヘルダーの不等式からは以下のコーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz’s inequality）を導くことができます。したがって、ヘルダーの不等式はコーシー・シュワルツの不等式の一般化です。

三角不等式

ヘルダーの不等式からコーシー・シュワルツの不等式が導かれることが明らかになりました。コーシー・シュワルツの不等式からは以下の三角不等式（triangle inequality）が導かれるため、ヘルダーの不等式は三角不等式の一般化でもあります。