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凸関数・凹関数

1次関数(アフィン関数)は凸関数かつ凹関数

目次

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1変数の1次関数は凸関数かつ凹関数

区間上に定義された1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、定数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}という形で表されるものとします。つまり、関数\(f\)は1次関数(アフィン関数)であるということです。1次関数\(f\)の形状は2つの定数\(a,b\)に依存しますが、\(a,b\)としてどのような値を選ぶかに関わらず、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。

問題(1次関数は凸関数かつ凹関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、定数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}と表されるものとする。\(a,b\)の値によらず、\(f\)は凸関数かつ凹関数である。
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例(1次関数)
1変数の1次関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、定数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の区間であり、なおかつ\(f\)は1次関数であるため、先の命題より\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(定数関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、定数\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は変数\(x\)の係数\(a\)が\(0\)であるような特別な1次関数であるため、先の命題より、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(恒等関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。恒等関数は変数\(x\)の係数\(a\)が\(1\)であるとともに定数項\(b\)が\(0\)であるような特別な1次関数であるため、先の命題より、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は1次関数であるため、先の命題より、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x-1
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は1次関数であるため、先の命題より、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数と凸関数の和)
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凸関数である場合に\(f+g\)は凸関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が凸関数ならば\(f+g\)は凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1+e^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です(演習問題)。
例(1次関数と凹関数の和)
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凹関数である場合に\(f+g\)は凹関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が凹関数ならば\(f+g\)は凹関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1+\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です(演習問題)。
例(1次関数と凸関数の合成関数)
区間上に定義された関数である\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( I\right) \subset J\)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加(単調非減少)の凸関数である場合に\(g\circ f\)は凸関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が単調増加の凸関数ならば\(g\circ f\)は凸関数です。1次関数は単調増加の凸関数であるため、\(f\)が凸関数で\(g\)が1次関数ならば\(g\circ f\)は凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{2x+1}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)や、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はいずれも凸関数です(演習問題)。
例(1次関数と凹関数の合成関数)
区間上に定義された関数である\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( I\right) \subset J\)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凹関数であり\(g\)が単調増加(単調非減少)の凹関数である場合に\(g\circ f\)は凹関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が単調増加の凹関数ならば\(g\circ f\)は凹関数です。1次関数は単調増加の凹関数であるため、\(f\)が凹関数で\(g\)が1次関数ならば\(g\circ f\)は凹関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \left( -\frac{1}{2},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 2x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{1}{2},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)や、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =2\ln \left( x\right) +1
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はいずれも凹関数です(演習問題)。

 

多変数の1次関数は凸関数かつ凹関数

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ベクトル\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)およびスカラー\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&a\cdot x+b \\
&=&a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b
\end{eqnarray*}という形で表されるものとします。つまり、関数\(f\)は1次関数(アフィン関数)であるということです。1次関数\(f\)の形状はベクトル\(a\)とスカラー\(b\)に依存しますが、\(a,b\)としてどのような値を選ぶかに関わらず、\(f\)は凸関数かつ凹関数です。

問題(1次関数は凸関数かつ凹関数)
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ベクトル\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)およびスカラー\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\cdot x+b
\end{equation*}と表されるものとする。\(a,b\)の値によらず、\(f\)は凸関数かつ凹関数である。
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例(1次関数)
多変数の1次関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能であるため、ベクトル\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)およびスカラー\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\cdot x+b
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合であり、なおかつ\(f\)は1次関数であるため、先の命題より\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+2y+3
\end{equation*}であるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の凸集合であり、なおかつ\(f\)は1次関数であるため、先の命題より\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x-2y-3
\end{equation*}であるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の凸集合であり、なおかつ\(f\)は1次関数であるため、先の命題より\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(1次関数と凸関数の和)
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凸関数である場合に\(f+g\)は凸関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が凸関数ならば\(f+g\)は凸関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+y+e^{x+y}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です(演習問題)。
例(1次関数と凹関数の和)
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凹関数である場合に\(f+g\)は凹関数であるため、\(f\)が1次関数で\(g\)が凹関数ならば\(f+g\)は凹関数です。具体例を挙げると、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+y+\ln \left( x+y\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\