実数値をとる多変数の凸関数の拡大実数値拡張
凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。
凸集合上に定義された凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの凸関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。
誤解の恐れがない場合には、凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合です。点\(\left( x,y\right) \in X\)におけるヘッセ行列は、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( x,y\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{xy}^{\prime \prime }(x,y) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} \\
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。\(H_{f}\left( x,y\right) \)の主座小行列式は、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\right\vert =\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\geq 0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\right\vert =\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\geq 0 \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} \\
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\end{vmatrix}=0
\end{eqnarray*}を満たすため\(H_{f}\left( x,y\right) \)は半正定値です。任意の点\(\left( x,y\right) \in X\)について同様であるため\(f\)は凸関数です。\(f\)の拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
拡大実数値をとる多変数の凸関数から得られる実数値の凸関数
凸集合上に定義され、実数だけを値としてとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}を定義すれば、それは以下の性質\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。そこで、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、そのような\(f\)を凸関数（convex function）と呼びます。
では、拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの凸集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に制限することにより、実数だけを値としてとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。
拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。\(f\)が凸関数である場合、その有効領域が凸集合であることが保証されます。
\end{equation*}は凸集合である。
拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、凸集合上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は凸関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の有効領域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{dom}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) <+\infty \right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の定義域を\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)すなわち\(X\)に縮小すれば、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定める実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が得られます。この実数値関数\(f\)は凸関数ですが、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凸関数であることが保証されます。
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凸関数である。
以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凸関数であるための必要十分条件である。
拡大実数値凸関数とエピグラフ
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、そのエピグラフを、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、エピグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。拡大実数値関数\(f\)に関しても、\(f\)のエピグラフが\(\mathbb{R} ^{n+1}\)上の凸集合であることと\(f\)が凸関数であることは必要十分です。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)のエピグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{epi}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\geq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \left\{ \left( x,y,z\right) \in \left( \mathbb{R} ^{2}\backslash X\right) \times \mathbb{R} \ |\ z\geq +\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \phi \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは凸集合であるため\(f\)は凸関数です。
実数値をとる多変数の凹関数の拡大実数値拡張
凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。
凸集合上に定義された凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの凹関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。
誤解の恐れがない場合には、凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合です。点\(\left( x,y\right) \in X\)におけるヘッセ行列は、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( x,y\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{xy}^{\prime \prime }(x,y) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} \\
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。\(H_{f}\left( x,y\right) \)の1次の主座小行列式は、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\right\vert =\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\leq 0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\right\vert =\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\leq 0
\end{eqnarray*}を満たし、2次の主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} \\
\frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}} & \frac{2}{\left( x+y\right) ^{3}}\end{vmatrix}=0\geq 0
\end{equation*}を満たすため\(H_{f}\left( x,y\right) \)は半負定値です。任意の点\(\left( x,y\right) \in X\)について同様であるため\(f\)は凹関数です。\(f\)の拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
拡大実数値をとる多変数の凹関数から得られる実数値の凹関数
凸集合上に定義され、実数だけを値としてとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}を定義すれば、それは以下の性質\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。そこで、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、そのような\(f\)を凹関数（concave function）と呼びます。
では、拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの凸集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に制限することにより、実数だけを値としてとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。
拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ -\infty <f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。\(f\)が凹関数である場合、その有効領域が凸集合であることが保証されます。
\end{equation*}は凸集合である。
拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、凸集合上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は凹関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の有効領域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{dom}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -\infty <f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の定義域を\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)すなわち\(X\)に縮小すれば、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定める実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が得られます。この実数値関数\(f\)は凹関数ですが、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凹関数であることが保証されます。
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凹関数である。
以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件である。
拡大実数値凹関数とハイポグラフ
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、そのハイポグラフを、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、ハイポグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。拡大実数値関数\(f\)に関しても、\(f\)のハイポグラフが\(\mathbb{R} ^{n+1}\)上の凸集合であることと\(f\)が凹関数であることは必要十分です。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)のハイポグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{hyp}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\leq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \left\{ \left( x,y,z\right) \in \left( \mathbb{R} ^{2}\backslash X\right) \times \mathbb{R} \ |\ z\leq -\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \phi \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは凸集合であるため\(f\)は凹関数です。
演習問題
\begin{array}{cc}
\ln \left( x+y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)の有効領域を特定してください。
- \(f\)の凹凸を判定してください。
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ x+y\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x+y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)の有効領域を特定してください。
- \(f\)の凹凸を判定してください。
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