実数値をとる多変数の狭義凸関数の拡大実数値拡張
凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{y}\in X\backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。
凸集合上に定義された狭義凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義凸関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。
誤解の恐れがない場合には、狭義凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合です。\(f\)は2変数のアフィン関数\(x+y\)と1変数の狭義凸関数\(\frac{1}{x}\ \left( x>0\right) \)の合成関数です。後に示すように、定数関数ではないアフィン関数と狭義凸関数の合成関数は狭義凸関数であるため\(f\)は狭義凸関数です。\(f\)の拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たす一方で、狭義凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left(
0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。先に示したように\(f\)は狭義凸関数であり、その拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\left( -1,-1\right) ,\left( -2,-2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目した場合、任意の\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\lambda f\left( -1,-1\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( -2,-2\right)
&=&+\infty \\
f\left( \lambda \left( -1,-1\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
-2,-2\right) \right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lambda f\left( -1,-1\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( -2,-2\right)
>f\left( \lambda \left( -1,-1\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
-2,-2\right) \right)
\end{equation*}は成立しません。
拡大実数値をとる多変数の狭義凸関数
凸集合上に定義された狭義凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left(
0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義凸関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凸関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall
\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義凸関数（strictly convex function）と呼びます。
狭義凸関数の定義域は凸集合であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義凸であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が凸集合であることが保証されている必要があります。
\end{equation*}は凸集合である。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の有効領域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{dom}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) <+\infty \right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}であり、これは凸集合です。\(f\)の定義域を\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)すなわち\(X\)に縮小すれば、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定める実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が得られます。この実数値関数\(f\)は狭義凸関数であるため、もとの拡大実数値関数\(f\)は狭義凸関数です。
実数値をとる狭義凸関数の拡大実数値拡張は狭義凸関数です。
実数値をとる多変数の狭義凹関数の拡大実数値拡張
凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{y}\in X\backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。
凸集合上に定義された狭義凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義凹関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。
誤解の恐れがない場合には、狭義凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合です。\(f\)は2変数のアフィン関数\(x+y\)と1変数の狭義凹関数\(\frac{1}{x}\ \left( x<0\right) \)の合成関数です。後に示すように、定数関数ではないアフィン関数と狭義凹関数の合成関数は狭義凹関数であるため\(f\)は狭義凹関数です。\(f\)の拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たす一方で、狭義凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left(
0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。先に示したように\(f\)は狭義凹関数であり、その拡大実数値拡張\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目した場合、任意の\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\lambda f\left( 1,1\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( 2,2\right)
&=&-\infty \\
f\left( \lambda \left( 1,1\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
2,2\right) \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lambda f\left( 1,1\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( 2,2\right)
>f\left( \lambda \left( 1,1\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
2,2\right) \right)
\end{equation*}は成立しません。
拡大実数値をとる多変数の狭義凹関数
凸集合上に定義された狭義凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left(
0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義凹関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ -\infty <f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凹関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall
\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義凹関数（strictly concave function）と呼びます。
狭義凹関数の定義域は凸集合であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義凹であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が凸集合であることが保証されている必要があります。
\end{equation*}は凸集合である。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の有効領域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{dom}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -\infty <f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}であり、これは凸集合です。\(f\)の定義域を\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)すなわち\(X\)に縮小すれば、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定める実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が得られます。この実数値関数\(f\)は狭義凹関数であるため、もとの拡大実数値関数\(f\)は狭義凹関数です。
実数値をとる狭義凹関数の拡大実数値拡張は狭義凹関数です。
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