ノルム関数は凸関数
ノルム関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を定めるということです。
ノルム関数は凸関数です。
命題（ノルム関数は凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は凸関数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は凸関数である。
ノルム関数の実数乗は狭義凸関数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{p}
\end{equation*}と表されるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
f\left( \boldsymbol{0}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert ^{p}
\\
&=&0^{p} \\
&=&0
\end{eqnarray*}と定めます。
指数が\(p=1\)である場合には、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}となりますが、先に示したようにこの場合の\(f\)は凸関数です。一方、\(p>1\)の場合には\(f\)は狭義凸関数です。
命題（ノルム関数の実数乗は狭義凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、\(p>1\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は狭義凸関数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は狭義凸関数である。
ノルム関数のスカラー倍
ノルム関数のスカラー倍の凹凸は以下の通りです。
命題（ノルム関数のスカラー倍）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとする。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- \(c>0\)ならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(c<0\)ならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(c=0\)ならば、\(cf\)は凸関数かつ凹関数である。
ノルム関数の実数乗のスカラー倍の凹凸は以下の通りです。
命題（ノルム関数の実数乗のスカラー倍）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、\(p>1\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- \(c>0\)ならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(c<0\)ならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(c=0\)ならば、\(cf\)は凸関数かつ凹関数である。
例（ノルム関数の実数乗のスカラー倍）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)の正のスカラー\(\frac{1}{2}\)倍であるため、\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)の正のスカラー\(\frac{1}{2}\)倍であるため、\(f\)は狭義凸関数です。
例（ノルム関数の実数乗のスカラー倍）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)の負のスカラー\(-1\)倍であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)の負のスカラー\(-1\)倍であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
ノルム関数と凸関数の和
ノルム関数と凸関数の和は凸関数です。
命題（ノルム関数と凸関数の和）
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)の一方がノルム関数\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)で他方が凸関数であるならば、\(f+g\)は凸関数である。
ノルム関数の実数乗と凸関数の和は狭義凸関数です。
命題（ノルム関数の実数乗と凸関数の和）
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)の一方がノルム関数の実数乗\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{p}\ \left(p>1\right) \)で他方が凸関数であるならば、\(f+g\)は狭義凸関数である。
例（ノルム関数の実数乗と凸関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert ^{\sqrt{2}}}{2}+x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\frac{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}}{2}\)と凸関数\(x+y\)の和であるため、\(f\)は狭義凸関数です。
\right\Vert ^{\sqrt{2}}}{2}+x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凸関数\(\frac{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}}{2}\)と凸関数\(x+y\)の和であるため、\(f\)は狭義凸関数です。
例（ノルム関数の実数乗と凹関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =-\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}+x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凹関数\(-\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)と凹関数\(x+y\)の和であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凹関数\(-\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{\sqrt{2}}\)と凹関数\(x+y\)の和であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
演習問題
問題（ノルム関数は狭義凸関数ではない）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように\(f\)は凸関数です。その一方で、\(f\)は狭義凸関数ではないことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように\(f\)は凸関数です。その一方で、\(f\)は狭義凸関数ではないことを証明してください。
問題（絶対値関数の実数乗どうしの和）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)およびスカラー\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{\sqrt{2}}+\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}+b
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
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