拡大実数値をとる1変数の狭義凸関数・狭義凹関数

実数値をとる1変数の狭義凸関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された狭義凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
+\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義凸関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、狭義凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( x_{1}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たす一方で、狭義凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{2}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right)
:\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
>f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の狭義凸関数

区間上に定義された狭義凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{2}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right)
:\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
>f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義凸関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凸関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義凸関数（strictly convex function）と呼びます。

狭義凸関数の定義は区間であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義凸であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が区間になることが保証されている必要があります。

実数値をとる狭義凸関数の拡大実数値拡張は狭義凸関数です。

拡大実数値狭義凸関数とエピグラフ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、そのエピグラフを、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、エピグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。拡大実数値関数\(f\)に関しても、\(f\)のエピグラフが\(\mathbb{R} ^{2}\)上の狭義凸集合であることと\(f\)が狭義凸関数であることは必要十分です。

実数値をとる1変数の狭義凹関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された狭義凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義凹関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、狭義凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( x_{1}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たす一方で、狭義凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{2}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right)
:\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
<f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の狭義凹関数

区間上に定義された狭義凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{2}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right)
:\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
<f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義凹関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義凹関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義凹関数（strictly concave function）と呼びます。

狭義凹関数の定義は区間であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義凹であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が区間になることが保証されている必要があります。

実数値をとる狭義凹関数の拡大実数値拡張は狭義凹関数です。

拡大実数値狭義凹関数とハイポグラフ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、そのハイポグラフを、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、ハイポグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。拡大実数値関数\(f\)に関しても、\(f\)のハイポグラフが\(\mathbb{R} ^{2}\)上の狭義凸集合であることと\(f\)が狭義凹関数であることは必要十分です。