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CONVEX FUNCTION

1変数の準凸関数・準凹関数

目次

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1変数の準凸関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくは区間を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凸関数(quasi-convex function)と呼びます。

図:準凸関数
図:準凸関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。準凸関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。点\(B\)は点\(A\)よりも上方に位置するため、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}です。\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある点\(P\)の座標は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。準凸関数の定義より、この点\(P\)の高さは点\(B\)と同じ高さもしくはそれより下方であることが保証されます。\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある任意の点について同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が準凸関数である場合、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(B\)と同じ高さもしくはそれより下方にあることが保証されます。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは下に凸であるため、\(f\)は凸関数でもあります。

図:準凸関数
図:準凸関数

上図のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸関数です。実際、\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、点\(B\)は点\(A\)よりも上方に位置するため、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}となりますが、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(B\)と同じ高さもしくはそれより下方に位置するからです。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凸関数ではありません。準凸関数は凸関数であるとは限りません。

準凸関数の定義域は区間である必要がありますが、その理由は以下の通りです。関数\(f\)が準凸関数であることとは、定義域の点\(x_{1},x_{2}\in I\)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立することを検討するためには左辺の値\(f\left(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(I\)が区間であれば\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\in I\)であること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されていることが保証されます。逆に、\(f\)の定義域\(I\)が区間でない場合、ある\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味をなさなくなってしまいます。

例(1変数の準凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、

図:準凸関数
図:準凸関数

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。対数関数は狭義単調増加関数であるため\(\ln \left( x_{1}\right) \leq \ln \left(x_{2}\right) \)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\max
\left\{ \ln \left( x_{1}\right) ,\ln \left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =\ln \left(
x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&\ln \left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\leq &\ln \left( \lambda x_{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ \ln \left( x\right) \text{は狭義単調増加} \\
&=&\ln \left( x_{2}\right) \\
&=&\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凸関数であることが示されました。

例(1変数の準凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:準凸関数
図:準凸関数

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。関数\(2x\)は狭義単調増加関数であるため\(2x_{1}\leq 2x_{2}\)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\max
\left\{ 2x_{1},2x_{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&2x_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =2x_{2}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&2\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\leq &2\left( \lambda x_{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ 2x\text{は狭義単調増加} \\
&=&2x_{2} \\
&=&\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凸関数であることが示されました。

これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

例(1変数の準凸関数)
有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフが下図で与えられているものとします。

図:準凸関数
図:準凸関数

この関数\(f\)は準凸関数である一方で、点\(c\)において微分可能ではありません。準凸関数は微分可能であるとは限らないということです。

 

準凸関数と凸関数の関係

凸関数は準凸関数であることが保証されます。

命題(凸関数は準凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であるならば、\(f\)は準凸関数である。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、準凸関数は凸関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(準凸だが凸ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:準凸だが凸ではない関数
図:準凸だが凸ではない関数

先に示したように、この関数\(f\)は準凸関数です。一方、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凸関数ではありません。より正確には、\(f\)の2階偏導関数は、任意の\(x\in \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}<0
\end{equation*}を満たしますが、これは\(f\)が凸関数でないことを意味します。

 

1変数の準凹関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくは区間を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \geq \min \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凹関数(quasi-concave function)と呼びます。

図:準凹関数
図:準凹関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。準凹関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。点\(A\)は点\(B\)よりも下方に位置するため、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}です。\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある点\(P\)の座標は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。準凹関数の定義より、この点\(P\)の高さは点\(A\)と同じ高さもしくはそれより上方であることが保証されます。\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある任意の点について同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が準凹関数である場合、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(A\)と同じ高さもしくはそれより上法にあることが保証されます。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凹関数でもあります。

図:準凹関数
図:準凹関数

上図のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凹関数です。実際、\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、点\(A\)は点\(B\)よりも下方に位置するため、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}となりますが、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(A\)と同じ高さもしくはそれより上方に位置するからです。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは下に凸であるため、\(f\)は凹関数ではありません。準凹関数は凹関数であるとは限りません。

準凹関数\(f\)の定義域\(I\)は区間である必要がありますが、その理由は準凸関数の定義域が区間でなければならない理由と同様です。つまり、\(f\)の定義域\(I\)が区間であれば任意の\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されることが保証されるため、準凹関数の定義を構成する不等式が成立するか検討できます。

例(1変数の準凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:準凹関数
図:準凹関数

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。対数関数は狭義単調増加関数であるため\(\ln \left( x_{1}\right) \leq \ln \left(x_{2}\right) \)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\min
\left\{ \ln \left( x_{1}\right) ,\ln \left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =\ln \left(
x_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&\ln \left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\ln \left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ \ln \left( x\right) \text{は狭義単調増加} \\
&=&\ln \left( x_{1}\right) \\
&=&\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凹関数であることが示されました。ちなみに、先に確認したように、この関数\(f\)は準凸関数でもあります。

例(1変数の準凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:準凹関数
図:準凹関数

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。関数\(2x\)は狭義単調増加関数であるため\(2x_{1}\leq 2x_{2}\)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\min
\left\{ 2x_{1},2x_{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&2x_{1}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =2x_{1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&2\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &2\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ 2x\text{は狭義単調増加} \\
&=&2x_{1} \\
&=&\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凹関数であることが示されました。ちなみに、先に確認したように、この関数\(f\)は準凸関数でもあります。

これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

例(1変数の準凹関数)
有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフが下図で与えられているものとします。

図:準凹関数
図:準凹関数

この関数\(f\)は準凹関数である一方で、点\(c\)において微分可能ではありません。準凹関数は微分可能であるとは限らないということです。

 

準凹関数と凹関数の関係

凹関数は準凹関数であることが保証されます。

命題(凹関数は準凹関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であるならば、\(f\)は準凹関数である。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、準凹関数は凹関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(準凹だが凹ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:準凹だが凹ではない関数
図:準凹だが凹ではない関数

この関数\(f\)は準凹関数である一方で、そのグラフは下に凸であるため、\(f\)は凹関数ではありません。より正確には、\(f\)の2階偏導関数は、任意の\(x\in \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}>
\end{equation*}を満たしますが、これは\(f\)が凹関数でないことを意味します。

 

準凸関数と準凹関数の関係

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が準凸関数であることは\(-f\)が準凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が準凹関数であることは\(-f\)が準凸関数であることと必要十分になります。

命題(準凸関数と準凹関数の関係)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{が準凸関数}\Leftrightarrow -f\text{が準凹関数} \\
&&\left( b\right) \ f\text{が準凹関数}\Leftrightarrow -f\text{が準凸関数}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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例(準凸関数と準凹関数の関係)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は準凸かつ準凹です。したがって上の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}-f\left( x\right) =-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸かつ準凹です。
例(準凸関数と準凹関数の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は準凸かつ準凹です。したがって上の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}-f\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸かつ準凹です。

次回は1変数の狭義準凸関数や狭義準凹関数について解説します。

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