イェンゼンの不等式を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の特徴づけ

イェンゼンの不等式を用いた狭義凸関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

\(2\)以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が狭義凸関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) >f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これを狭義のイェンゼンの不等式（strict Jensen’s inequality）と呼びます。

逆に、狭義のイェンゼンの不等式から関数の狭義凸性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた狭義凹関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凹関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

\(2\)以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が狭義凹関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) <f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これは狭義凹関数に関する狭義のイェンゼンの不等式（strict Jensen’s inequality）と呼びます。

逆に、狭義のイェンゼンの不等式から関数の狭義凹性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式が等号で成立するケース

区間上に定義された関数が狭義凸関数であることと、その関数が狭義のイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分であることが明らかになりました。したがって、区間上に定義された狭義凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、2以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)および\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) >f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\)が狭義凸関数であるとともに自然数\(k\)および点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)およびスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\)が以上の条件を満たす場合、イェンゼンの不等式は狭義の不等号で成立するため、等式\begin{equation*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) =f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が成立する事態は起こり得ません。では、\(f\)が狭義凸関数である状況において自然数\(k\)または点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)またはスカラー\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{k}\)に関する制約を緩める場合、以上の等式が成立する状況は起こり得るのでしょうか。

\(k=1\)の場合について考えます。点\(x\in I\)を任意に選びます。また、条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすスカラーは\(1\in \mathbb{R} \)だけです。このとき、\begin{equation*}1f\left( x\right) =f\left( 1x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(k\)が\(1\)である場合、点とスカラーの選び方に関わらずイェンゼンの不等式は等号で成立します。

\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)および\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)をそれぞれ任意に選びます。\(k\)個のスカラー\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)の中の1つが\(1\)であり、他のすべてが\(0\)である状況を想定します。\(\lambda _{1}=1\)かつ\(\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{k}=0\)としても一般性は失われません。このとき、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) &=&1f\left( x_{1}\right)
=f\left( x_{1}\right) \\
f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) &=&f\left( 1x_{1}\right)
=f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) =f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、スカラー\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{k}\)の中の1つが\(1\)である場合、自然数\(k\)および点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)の選び方に関わらずイェンゼンの不等式は等号で成立します。

\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)および条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。さらに、\begin{equation*}x_{1}=\cdots =x_{k}
\end{equation*}を満たす\(k\)個の点\(x_{1},\cdots,x_{k}\in I\)に注目すると、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) &=&\sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}f\left( x_{1}\right) \quad \because x_{1}=\cdots =x_{k} \\
&=&f\left( x_{1}\right) \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i} \\
&=&f\left( x_{1}\right) 1\quad \because \left( b\right) \\
&=&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) &=&f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{1}\right) \quad \because x_{1}=\cdots =x_{k} \\
&=&f\left( x_{1}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}\right) \\
&=&f\left( x_{1}\cdot 1\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}f\left( x_{i}\right) =f\left(
\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)がすべて等しい場合、自然数\(k\)およびスカラー\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{k}\)の選び方に関わらずイェンゼンの不等式は等号で成立します。実は、逆も成立するため以下を得ます。

狭義凸関数およびそれに対応する狭義のイェンゼンの不等式に関しても同様の議論が成立します。