エピグラフを用いた多変数の狭義凸関数の判定
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{y}\in X\backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。これまで明らかにしたように、関数\(f\)が全微分可能であったり\(C^{2}\)級である場合には勾配ベクトルやヘッセ行列を用いることにより\(f\)が狭義凸であることを判定できます。では、関数\(f\)が微分可能であるとは限らない場合、\(f\)が狭義凸関数であることを容易に判定する方法はあるのでしょうか。
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも上部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in
X\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のエピグラフ（epigraph）と呼びます。定義より以下の関係\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{epi}\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
関数のエピグラフが狭義凸集合である場合、その関数は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、\(f\)のエピグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{epi}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\geq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\geq x^{2}+y^{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは下に凸な放物面\begin{equation*}
z=x^{2}+y^{2}
\end{equation*}の上側全体の集合であるため狭義凸集合です（演習問題）。したがって先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
関数の定義域が開集合ではない場合、先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凸関数のエピグラフは狭義凸集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -1\leq x\leq 1\wedge -1\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合である一方で開集合ではありません。\(f\)は\(X\)上において狭義凸関数です。\(f\)のエピグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{epi}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ -1\leq x\leq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq x^{2}+y^{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)上に存在する2つの異なる点\begin{eqnarray*}\left( 1,1,2\right) &\in &\mathrm{epi}\left( f\right) \\
\left( 1,1,3\right) &\in &\mathrm{epi}\left( f\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、これらの点の間にある任意の点は\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)の境界点であり内点ではないため\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)は狭義凸集合ではありません。
関数の定義域が開集合である場合には、先の命題の逆の主張もまた成り立ちます。したがって以下を得ます。
ハイポグラフを用いた多変数の狭義凹関数の判定
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{y}\in X\backslash \left\{
\boldsymbol{x}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。これまで明らかにしたように、関数\(f\)が全微分可能であったり\(C^{2}\)級である場合には勾配ベクトルやヘッセ行列を用いることにより\(f\)が狭義凹であることを判定できます。では、関数\(f\)が微分可能であるとは限らない場合、\(f\)が狭義凹関数であることを容易に判定する方法はあるのでしょうか。
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも下部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in
X\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のハイポグラフ（hypograph）と呼びます。定義より以下の関係\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
関数のハイポグラフが狭義凸集合である場合、その関数は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、\(f\)のハイポグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{hyp}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\leq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\leq x^{2}+y^{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは上に凸な放物面\begin{equation*}
z=-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}の下側全体の集合であるため狭義凸集合です（演習問題）。したがって先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
関数の定義域が開集合ではない場合、先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凹関数のハイポグラフは狭義凸集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -1\leq x\leq 1\wedge -1\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は凸集合である一方で開集合ではありません。\(f\)は\(X\)上において狭義凹関数です。\(f\)のハイポグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{hyp}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ -1\leq x\leq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\leq
-x^{2}-y^{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)上に存在する2つの異なる点\begin{eqnarray*}\left( 1,1,-2\right) &\in &\mathrm{hyp}\left( f\right) \\
\left( 1,1,-3\right) &\in &\mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、これらの点の間にある任意の点は\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)の境界点であり内点ではないため\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)は狭義凸集合ではありません。
関数の定義域が開集合である場合には、先の命題の逆の主張もまた成り立ちます。したがって以下を得ます。
エピグラフを用いた多変数の拡大実数値狭義凸関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) >f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。拡大実数値をとる狭義凸関数に関しても、それをエピグラフを用いて表現できます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、そのエピグラフを、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ y\geq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、エピグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。言い換えると、\(\boldsymbol{x}\)がとり得る値の範囲を\(f\)の有効領域\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}に制限した上でエピグラフを定義するということです。
拡大実数値をとる狭義凸関数に関しても、実数値をとる狭義凸関数と同様の命題が成り立ちます。
以下の命題も成り立ちます。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)のエピグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{epi}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\geq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \left\{ \left( x,y,z\right) \in \left( \mathbb{R} ^{2}\backslash X\right) \times \mathbb{R} \ |\ z\geq +\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \phi \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\geq \frac{1}{x+y}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは狭義凸集合であるため\(f\)は狭義凸関数です。
ハイポグラフを用いた多変数の拡大実数値狭義凹関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ \boldsymbol{x}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) <f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。拡大実数値をとる狭義凹関数に関しても、それをハイポグラフを用いて表現できます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、そのハイポグラフを、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、ハイポグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。言い換えると、\(\boldsymbol{x}\)がとり得る値の範囲を\(f\)の有効領域\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}に制限した上でハイポグラフを定義するということです。
拡大実数値をとる狭義凹関数に関しても、実数値をとる狭義凹関数と同様の命題が成り立ちます。
以下の命題も成り立ちます。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x+y} & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y<0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)のハイポグラフは、\begin{eqnarray*}\mathrm{hyp}\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\leq f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \left\{ \left( x,y,z\right) \in \left( \mathbb{R} ^{2}\backslash X\right) \times \mathbb{R} \ |\ z\leq -\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\} \cup \phi \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ z\leq \frac{1}{x+y}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは狭義凸集合であるため\(f\)は狭義凹関数です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることをエピグラフを用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数である一方で狭義凸関数ではないことをエピグラフを用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数ではないことをエピグラフを用いて示してください。
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