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CONVEX OPTIMIZATION / CONCAVE OPTIMIZATION

凸最適化・凹最適化

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

凸最適化(凸計画法)および凹最適化(凹計画法)と呼ばれる最適化問題を定義するとともに、様々な凸最適化ないし凹最適化問題の解法を解説します。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

1変数関数の凸最適化・凹最適化

凸関数や凹関数などの概念を定義するとともに、与えられた関数が凸関数ないし凹関数であることを判定する方法について解説します。

1変数関数の凸最適化・凹最適化

制約集合が凸集合であり目的関数が凸関数であるような制約条件付き最小化問題を凸最適化(凸計画問題)と呼び、制約集合が凸集合であり目的関数が凹関数であるような制約条件付き最大化問題を凹最適化(凹計画問題)と呼びます。

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1変数関数の凸最適化問題の解

1変数関数の凸最適化問題の内点解が満たす条件を劣勾配(劣微分)を用いて特徴づけます。微分可能な凸関数に関して、これは最小化のための1階の条件と必要十分です。

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1変数関数の凹最適化問題の解

1変数関数の凹最適化問題の内点解が満たす条件を劣勾配(劣微分)を用いて特徴づけます。微分可能な凹関数に関して、これは最大化のための1階の条件と必要十分です。

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SECTION 2

多変数関数の凸最適化・凹最適化

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SECTION 3

準備中

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本稿では凸集合を定義する舞台としてユークリッド空間を採用しました。ユークリッド空間について馴染みがない場合には以下から学んでください。

ユークリッド空間

ユークリッド空間や点列、位相、および各種の写像(曲線・スカラー場・ベクトル場)などについて解説します。具体的には、有限個の実数空間の直積として多次元空間を定義した上で、そこに演算、順序、距離などの概念を導入します。さらにユークリッド空間の位相や点列の極限、各種写像の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ上での土台となります。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

凸集合の集合演算に関する性質について解説します。

凸関数・凹関数

凸関数(凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数(凹関数)であることを判定する方法や、凸関数(凹関数)の基本的な性質について解説します。

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