凸集合と呼ばれる概念を定義します。
ユークリッド空間の部分集合が与えられたとき、その集合のすべての点をスカラー倍して得られる新たな集合をもとの集合のスカラー倍と呼びます。凸集合のスカラー倍は凸集合であることが保証されます。
ユークリッド空間の部分集合A,Bが与えられたとき、それらの点のベクトル和を集めてできる集合をミンコフスキー和と呼びます。凸集合どうしのミンコフスキー和は凸集合であることが保証されます。
集合のスカラー倍およびミンコフスキー和を利用して、集合どうしの線型結合や凸結合などの概念を定義します。凸集合どうしの線型結合や凸結合は凸集合になります。
凸集合の位相に関する性質について解説します。
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ユークリッド空間上の点と集合が超平面によって狭義分離されることの意味を定義するとともに、非空な凸集合とその外点は何らかの超平面のもとで必ず狭義分離されることを示します。
ユークリッド空間上の集合が超平面によって支持されることの意味を定義するとともに、非空な凸集合はその任意の境界点において何らかの超平面のもとで必ず支持されることを示します。
ユークリッド空間上の点と集合が超平面によって分離されることの意味を定義するとともに、非空な凸集合とその集合に属さない点は何らかの超平面のもとで必ず分離可能であることを示します。
ユークリッド空間上の2つの集合が超平面によって分離されることの意味を定義するとともに、非空かつ互いに素な2つの凸集合は何らかの超平面のもとで必ず分離可能であることを示します。
ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。
凸集合の集合演算に関する性質について解説します。
凸関数(凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数(凹関数)であることを判定する方法や、凸関数(凹関数)の基本的な性質について解説します。