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CONVEX SET

凸集合

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

凸集合と呼ばれる概念を定義した上で、凸集合どうしの集合演算に関して成立する性質や凸集合の位相的性質について解説します。ここで得られる知識は後に凸関数や最適化について学ぶ上での土台になります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

凸集合

凸集合と呼ばれる概念を定義します。

凸集合の定義

ユークリッド空間の部分集合に属する2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の凸結合がその集合の要素であるならば、その集合を凸集合と呼びます。

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狭義凸集合の定義

ユークリッド空間の部分集合に属する異なる2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の狭義凸結合がその集合の内点であるならば、その集合を狭義凸集合と呼びます。

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凸包の定義

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aを部分集合として持つ凸集合の中でも最小のものをAの凸包と呼びます。

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SECTION 2

凸集合の演算

凸集合の集合演算に関する性質について解説します。

凸集合のスカラー倍

ユークリッド空間の部分集合が与えられたとき、その集合のすべての点をスカラー倍して得られる新たな集合をもとの集合のスカラー倍と呼びます。凸集合のスカラー倍は凸集合であることが保証されます。

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SECTION 3

凸集合の位相

凸集合の位相に関する性質について解説します。

SECTION 4

凸集合の分離

準備中です。

超平面

ユークリッド空間における超平面と呼ばれる概念を定義するとともに、法線ベクトルと超平面の関係や、点と超平面の距離について解説します。

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直線としての超平面

ユークリッド空間における直線と呼ばれる概念を定義するとともに、2次元ユークリッド空間において直線と超平面が概念として一致することを示します。

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平面としての超平面

ユークリッド空間における平面と呼ばれる概念を定義するとともに、3次元ユークリッド空間において平面と超平面が概念として一致することを示します。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本稿では凸集合を定義する舞台としてユークリッド空間を採用しました。ユークリッド空間について馴染みがない場合には以下から学んでください。

ユークリッド空間

ユークリッド空間や点列、位相、および各種の写像(曲線・スカラー場・ベクトル場)などについて解説します。具体的には、有限個の実数空間の直積として多次元空間を定義した上で、そこに演算、順序、距離などの概念を導入します。さらにユークリッド空間の位相や点列の極限、各種写像の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ上での土台となります。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

凸集合の集合演算に関する性質について解説します。

凸関数・凹関数

凸関数(凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数(凹関数)であることを判定する方法や、凸関数(凹関数)の基本的な性質について解説します。

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