集合の線型結合
ユークリッド空間の有限個の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\cdots +\lambda _{k}A_{k}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)の線型結合（linear combination）と呼びます。ただし、\(\lambda _{i}A_{i}\)は集合\(A_{i}\)のスカラー\(\lambda _{i}\)倍であり、\(+\)は集合どうしのミンコフスキー和を表す記号です。特に、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda_{k}\in \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす場合には、すなわち、すべてのスカラーが非負であるとともにすべてのスカラーの和が\(1\)である場合には、線型結合のことを凸結合（convex combination）と呼びます。
何らかのスカラー\(\lambda_{i}\in \mathbb{R} \)について\(\lambda _{i}>1\)が成り立つ場合、条件\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}>1
\end{equation*}となり、これは\(\left( b\right) \)と矛盾です。したがって、凸結合については、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :0\leq \lambda _{i}\leq 1
\end{equation*}が成り立つこと、つまり、すべてのスカラーが\(0\)以上\(1\)以下になることが保証されます。
例（2つの集合の線型結合）
2つの集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合は、スカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。特に、これが凸結合である場合、スカラーは\(\lambda _{1}\geq 0\)かつ\(\lambda _{2}\geq 0\)かつ\(\lambda _{1}+\lambda _{2}=1\)を満たします。ゆえに\(\lambda _{2}=1-\lambda _{1}\)であるため、凸結合である場合には、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\left( 1-\lambda _{1}\right) A_{2}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\lambda _{2}\geq 0\)より\(1-\lambda_{1}\geq 0\)すなわち\(\lambda _{1}\leq 1\)でなければなりません。つまり、2つの集合の凸結合を表現するにはスカラーが1つあれば十分であるということです。以上の議論を踏まえた上で改めて整理すると、2つの集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。特に、これが凸結合である場合、スカラーは\(\lambda _{1}\geq 0\)かつ\(\lambda _{2}\geq 0\)かつ\(\lambda _{1}+\lambda _{2}=1\)を満たします。ゆえに\(\lambda _{2}=1-\lambda _{1}\)であるため、凸結合である場合には、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\left( 1-\lambda _{1}\right) A_{2}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\lambda _{2}\geq 0\)より\(1-\lambda_{1}\geq 0\)すなわち\(\lambda _{1}\leq 1\)でなければなりません。つまり、2つの集合の凸結合を表現するにはスカラーが1つあれば十分であるということです。以上の議論を踏まえた上で改めて整理すると、2つの集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。
例（集合の線型結合）
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} \\
A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}の線型結合は、スカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda _{1}A_{2}+\lambda _{2}A_{2} &=&\lambda _{1}\left\{ \left( 1,0\right)
,\left( 0,1\right) \right\} +\lambda _{2}\left\{ \left( 0,0\right) ,\left(
1,1\right) \right\} \quad \because A_{1},A_{2}\text{の定義}
\\
&=&\left\{ \left( \lambda _{1},0\right) ,\left( 0,\lambda _{1}\right)
\right\} +\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( \lambda _{2},\lambda _{2}\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda _{1},0\right) ,\left( 0,\lambda _{1}\right)
,\left( \lambda _{1}+\lambda _{2},\lambda _{2}\right) ,\left( \lambda
_{2},\lambda _{1}+\lambda _{2}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2} &=&\lambda \left\{ \left(
1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} +\left( 1-\lambda \right) \left\{
\left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 0,\lambda \right) \right\}
+\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1-\lambda ,1-\lambda \right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 0,\lambda \right) ,\left(
1,1-\lambda \right) ,\left( 1-\lambda ,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。特に、\(\lambda =0\)の場合には、\begin{eqnarray*}0A_{1}+\left( 1-0\right) A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left(
1,1\right) \right\} \\
&=&A_{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\lambda =1\)の場合には、\begin{eqnarray*}1A_{1}+\left( 1-1\right) A_{2} &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left(
0,1\right) \right\} \\
&=&A_{1}
\end{eqnarray*}であり、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}\frac{1}{2}A_{1}+\frac{1}{2}A_{2}=\left\{ \left( \frac{1}{2},0\right)
,\left( 1,1\right) ,\left( 0,\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},1\right)
\right\}
\end{equation*}となります。
A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}の線型結合は、スカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda _{1}A_{2}+\lambda _{2}A_{2} &=&\lambda _{1}\left\{ \left( 1,0\right)
,\left( 0,1\right) \right\} +\lambda _{2}\left\{ \left( 0,0\right) ,\left(
1,1\right) \right\} \quad \because A_{1},A_{2}\text{の定義}
\\
&=&\left\{ \left( \lambda _{1},0\right) ,\left( 0,\lambda _{1}\right)
\right\} +\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( \lambda _{2},\lambda _{2}\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda _{1},0\right) ,\left( 0,\lambda _{1}\right)
,\left( \lambda _{1}+\lambda _{2},\lambda _{2}\right) ,\left( \lambda
_{2},\lambda _{1}+\lambda _{2}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2} &=&\lambda \left\{ \left(
1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} +\left( 1-\lambda \right) \left\{
\left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 0,\lambda \right) \right\}
+\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1-\lambda ,1-\lambda \right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 0,\lambda \right) ,\left(
1,1-\lambda \right) ,\left( 1-\lambda ,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。特に、\(\lambda =0\)の場合には、\begin{eqnarray*}0A_{1}+\left( 1-0\right) A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left(
1,1\right) \right\} \\
&=&A_{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\lambda =1\)の場合には、\begin{eqnarray*}1A_{1}+\left( 1-1\right) A_{2} &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left(
0,1\right) \right\} \\
&=&A_{1}
\end{eqnarray*}であり、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}\frac{1}{2}A_{1}+\frac{1}{2}A_{2}=\left\{ \left( \frac{1}{2},0\right)
,\left( 1,1\right) ,\left( 0,\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},1\right)
\right\}
\end{equation*}となります。
凸集合の線型結合は凸集合
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)がいずれも凸集合である場合、それらの任意の線型結合もまた凸集合になることが保証されます。
命題（凸集合の線型結合は凸集合）
ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)がいずれも凸集合であるならば、これらの任意の線型結合もまた凸集合である。
集合の凸結合は特別な線型結合であるため、上の命題より以下が得られます。
命題（凸集合の凸結合は凸集合）
ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)がいずれも凸集合であるならば、これらの任意の凸結合もまた凸集合である。
例（凸集合の線型結合）
\(a<b<c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、2つの有界開区間\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} \\
\left( c,d\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ c<x<d\right\}
\end{eqnarray*}をとります。これらはともに\(\mathbb{R} \)上の凸集合であるため、これらの任意の線型結合や凸結合もまた凸集合です。つまり、スカラー\(\lambda_{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}\left( a,b\right) +\lambda _{2}\left( c,d\right)
\end{equation*}と表される集合や、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda \left( a,b\right) +\left( 1-\lambda \right) \left( c,d\right)
\end{equation*}と表される集合はいずれも凸集合です。具体例を挙げると、\(\lambda _{1}=\frac{1}{2}\)かつ\(\lambda _{2}=-1\)の場合の線型結合は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left( a,b\right) -\left( c,d\right) &=&\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) -\left( c,d\right) \\
&=&\left( \frac{a}{2}-d,\frac{b}{2}-c\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有界な開区間であるため凸集合です。また、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合の凸結合は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left( a,b\right) +\frac{1}{2}\left( c,d\right) &=&\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) +\left( \frac{c}{2},\frac{d}{2}\right) \\
&=&\left( \frac{a}{2}+\frac{c}{2},\frac{b}{2}+\frac{d}{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有界な開区間であるため凸集合です。
\left( c,d\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ c<x<d\right\}
\end{eqnarray*}をとります。これらはともに\(\mathbb{R} \)上の凸集合であるため、これらの任意の線型結合や凸結合もまた凸集合です。つまり、スカラー\(\lambda_{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}\left( a,b\right) +\lambda _{2}\left( c,d\right)
\end{equation*}と表される集合や、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda \left( a,b\right) +\left( 1-\lambda \right) \left( c,d\right)
\end{equation*}と表される集合はいずれも凸集合です。具体例を挙げると、\(\lambda _{1}=\frac{1}{2}\)かつ\(\lambda _{2}=-1\)の場合の線型結合は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left( a,b\right) -\left( c,d\right) &=&\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) -\left( c,d\right) \\
&=&\left( \frac{a}{2}-d,\frac{b}{2}-c\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有界な開区間であるため凸集合です。また、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合の凸結合は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left( a,b\right) +\frac{1}{2}\left( c,d\right) &=&\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) +\left( \frac{c}{2},\frac{d}{2}\right) \\
&=&\left( \frac{a}{2}+\frac{c}{2},\frac{b}{2}+\frac{d}{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有界な開区間であるため凸集合です。
演習問題
問題（集合の線型結合の分配律）
集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \left( A_{1}+A_{2}\right) =\lambda A_{1}+\lambda A_{2}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（集合の凸結合による凸集合の特徴づけ）
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda A+\left( 1-\lambda \right)
A\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が凸集合であるための必要十分条件であることを証明してください。
A\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が凸集合であるための必要十分条件であることを証明してください。
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