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凸集合の凸結合

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集合の凸結合

ユークリッド空間の有限個の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\cdots +\lambda _{k}A_{k}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)の線型結合(linear combination)と呼びます。ただし、\(\lambda _{i}A_{i}\)は集合\(A_{i}\)のスカラー\(\lambda _{i}\)倍であり、\(+\)はミンコフスキー和を表す記号です。特に、スカラー\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす場合には、すなわち、すべてのスカラーが非負であるとともにすべてのスカラーの和が\(1\)である場合には、\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)の線型結合を凸結合(convex combination)と呼びます。

例(2つの集合の凸結合)
2つの集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)の凸結合は、\(\lambda _{1}\geq 0\)かつ\(\lambda _{2}\geq 0\)かつ\(\lambda _{1}+\lambda_{2}=1\)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、\(\lambda _{2}=1-\lambda _{1}\)であることを踏まえると、上の凸結合を、\begin{equation*}\lambda _{1}A_{1}+\left( 1-\lambda _{1}\right) A_{2}
\end{equation*}と言い換えることができます。ただし、\(\lambda _{2}\geq 0\)より\(1-\lambda _{1}\geq 0\)すなわち\(\lambda _{1}\leq 1\)でなければなりません。つまり、2つの集合の凸結合を表現するにはスカラーが1つあれば十分であるということです。以上の議論を踏まえた上で改めて整理すると、2つの集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。
例(集合の凸結合)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} \\
A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}の凸結合は、\(0\leq \lambda \leq 1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda A_{1}+\left( 1-\lambda \right) A_{2} &=&\lambda \left\{ \left(
1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} +\left( 1-\lambda \right) \left\{
\left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 0,\lambda \right) \right\}
+\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1-\lambda ,1-\lambda \right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \lambda ,0\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 0,\lambda
\right) ,\left( 1-\lambda ,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。例えば、\(\lambda =0\)の場合には、\begin{equation*}0A_{1}+\left( 1-0\right) A_{2}=A_{2}
\end{equation*}であり、\(\lambda =1\)の場合には、\begin{equation*}1A_{1}+\left( 1-1\right) A_{2}=A_{1}
\end{equation*}であり、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}\frac{1}{2}A_{1}+\frac{1}{2}A_{2}=\left\{ \left( \frac{1}{2},0\right)
,\left( 1,1\right) ,\left( 0,\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},1\right)
\right\}
\end{equation*}となります。

 

凸集合の線型結合

集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)がいずれも凸集合である場合、それらの任意の線型結合もまた凸集合であることが保証されます。

命題(凸集合の線型結合)
ユークリッド空間の有限個の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、これらがいずれも凸集合であるならば、これらの任意の線型結合もまた凸集合である。
証明

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集合の凸結合は特別な線型結合であるため、上の命題より以下が得られます。

命題(凸集合の凸結合)

ユークリッド空間の有限個の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\subset \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、これらがいずれも凸集合であるならば、これらの任意の凸結合もまた凸集合である。

 

演習問題

問題(集合の線型結合の分配律)
集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \left( A_{1}+A_{2}\right) =\lambda A_{1}+\lambda A_{2}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(集合の凸結合による凸集合の特徴づけ)
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda A+\left( 1-\lambda \right)
A\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が凸集合であるための必要十分条件であることを証明してください。
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次回は凸集合どうしの直積について解説します。

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