凸集合どうしの直積

2つの凸集合の直積は凸集合

ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ与えられたとき、それらの直積は、\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n+m}\ |\ x_{1}\in A_{1}\wedge x_{2}\in A_{2}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+m}\)の部分集合です。なお、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)は同一次元のユークリッド空間の部分集合である必要はありません。

ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\)がともに凸集合である場合、それらの直積もまた凸集合になることが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\)の直積が凸集合である場合、個々の集合\(A_{1},A_{2}\)もまた凸集合になることが保証されます。

有限凸集合族の直積は凸集合

先の命題は3個以上の凸集合に関しても拡張可能です。ユークリッド空間の部分集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)を任意に選びます。ただし、\(A_{i}\subset \mathbb{R} ^{n_{i}}\ \left( i=1,\cdots ,k\right) \)です。つまり、\(A_{i}\)は\(n_{i}\)次元ユークリッド空間の部分集合です。また、この集合族の要素である集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)は同一次元のユークリッド空間の部分集合である必要はありません。いずれにせよ、この集合族の直積は、\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{k}A_{i}=\left\{ \left( x_{i}\right) _{i=1}^{k}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :x_{i}\in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{equation*}
n=\sum_{i=1}^{k}n_{i}
\end{equation*}です。

ユークリッド空間の部分集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)の要素がいずれも凸集合である場合、この集合族の直積もまた凸集合になることが保証されます。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{k}\)の直積が凸集合である場合、個々の集合\(A_{i}\)もまた凸集合になることが保証されます。

演習問題