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凸集合

凸集合どうしの直積

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2つの凸集合の直積は凸集合

ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ与えられたとき、それらの直積は、\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n+m}\ |\ x_{1}\in A_{1}\wedge x_{2}\in A_{2}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+m}\)の部分集合です。なお、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)は同一次元のユークリッド空間の部分集合である必要はありません。

例(集合の直積)
同一次元のユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A_{1},A_{2}\)が与えられたとき、それらの直積は、\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2n}\ |\ x_{1}\in A_{1}\wedge x_{2}\in A_{2}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2n}\)の部分集合です。
例(集合の直積)
以下の集合\begin{eqnarray*}
\left\{ 1,2\right\} &\subset &\mathbb{R} \\
\left\{ 3,4,5\right\} &\subset &\mathbb{R} \\
\left[ 0,1\right] &\subset &\mathbb{R} \end{eqnarray*}について、\begin{eqnarray*}
\left\{ 1,2\right\} \times \left\{ 3,4,5\right\} &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\in \left\{ 1,2\right\} \wedge x_{2}\in \left\{ 3,4,5\right\}
\right\} \quad \because \text{直積の定義} \\
&=&\left\{ \left( 1,3\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left(
2,3\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 2,5\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\left\{ 1,2\right\} \times \left[ 0,1\right] &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\in \left\{ 1,2\right\} \wedge 0\leq x_{2}\leq 1\right\} \quad
\because \text{直積の定義} \\
&=&\left\{ \left( 1,x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{2}\leq 1\right\} \cup \left\{ \left( 2,x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{2}\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。これらは\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。
例(集合の直積)
以下の集合\begin{eqnarray*}
\left[ 0,1\right] &\subset &\mathbb{R} \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] &\subset &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] \times \left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \left( x_{1},\left( x_{2},x_{3}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 0\leq x_{1}\leq 1\wedge 0\leq x_{2}\leq 1\wedge 0\leq x_{3}\leq
1\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合です。
例(空集合との直積)
空集合\(\phi \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、空集合と任意の集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の直積をとることができますが、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。

ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\)がともに凸集合である場合、それらの直積もまた凸集合になることが保証されます。

命題(凸集合の直積)
ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)がともに凸集合であるならば、それらの直積\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}
\end{equation*}もまた凸集合である。

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例(凸集合の直積)
同一次元のユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、上の命題より、それらの直積\(A_{1}\times A_{2}\)は凸集合です。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\)の直積が凸集合である場合、個々の集合\(A_{1},A_{2}\)もまた凸集合になることが保証されます。

命題(凸集合であるような直積)
ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)について、それらの直積\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}
\end{equation*}が凸集合であるならば、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)はともに凸集合である。
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有限凸集合族の直積は凸集合

先の命題は3個以上の凸集合に関しても拡張可能です。ユークリッド空間の部分集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)を任意に選びます。ただし、\(A_{i}\subset \mathbb{R} ^{n_{i}}\ \left( i=1,\cdots ,k\right) \)です。つまり、\(A_{i}\)は\(n_{i}\)次元ユークリッド空間の部分集合です。また、この集合族の要素である集合\(A_{1},\cdots ,A_{k}\)は同一次元のユークリッド空間の部分集合である必要はありません。いずれにせよ、この集合族の直積は、\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{k}A_{i}=\left\{ \left( x_{i}\right) _{i=1}^{k}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :x_{i}\in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{equation*}
n=\sum_{i=1}^{k}n_{i}
\end{equation*}です。

ユークリッド空間の部分集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)の要素がいずれも凸集合である場合、この集合族の直積もまた凸集合になることが保証されます。

命題(有限凸集合族の直積)
ユークリッド空間の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)が与えられたとき、その任意の要素\(A_{i}\ \left(i=1,\cdots ,k\right) \)が凸集合であるならば、その直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{k}A_{i}
\end{equation*}もまた凸集合である。

証明

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例(有限凸集合族の直積)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{k}\)の要素がいずれも凸集合であるならば、上の命題より、その直積\(\prod_{i=1}^{k}A_{i}\)は凸集合です。
例(有限凸集合族の直積)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は有限\(n\)個の実数空間\(\mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \end{equation*}と理解できます。\(\mathbb{R} \)は凸集合であるため、先の命題より\(\mathbb{R} ^{n}\)もまた凸集合です。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{k}\)の直積が凸集合である場合、個々の集合\(A_{i}\)もまた凸集合になることが保証されます。

命題(凸集合であるような直積)
ユークリッド空間の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)が与えられたとき、その直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{k}A_{i}
\end{equation*}が凸集合であるならば、任意の集合\(A_{i}\ \left(i=1,\cdots ,k\right) \)もまた凸集合である。
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演習問題

問題(空集合との直積)
任意の集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(凸集合の直積)
以下のような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] ^{n}
\end{equation*}は凸集合であることを証明してください。

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関連知識

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2つの集合の直積(カルテシアン積)

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