1変数の準凸関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくは区間を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凸関数（quasi-convex function）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることの意味を視覚的に理解します（上図）。準凸関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{eqnarray*}A &:&\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) \\
B &:&\left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を任意に選びます。点\(B\)は点\(A\)よりも上方に位置するため、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。一方、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある点\(P\)の座標は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。準凸関数の定義より、点\(B\)の\(y\)座標が点\(P\)の\(y\)座標以上であること、すなわち、点\(B\)の高さは点\(P\)の高さと同じもしくはより上方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、結局、\(f\)が準凸関数である場合、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(B\)と同じ高さもしくはそれより下方にあることが保証されます。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは下に凸であるため、\(f\)は凸関数でもあります。
上図のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸関数です。実際、\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{eqnarray*}A &:&\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) \\
B &:&\left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、点\(B\)は点\(A\)よりも上方に位置するため、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}となりますが、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(B\)と同じ高さもしくはそれより下方に位置するからです。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凸関数ではありません。準凸関数は凸関数であるとは限らないということです。
準凸関数の定義域は区間である必要がありますが、その理由は以下の通りです。関数\(f\)が準凸関数であることとは、定義域の点\(x_{1},x_{2}\in I\)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立することを検討するためには左辺の値\(f\left(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(I\)が区間であれば\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\in I\)であること、すなわち関数\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)x_{2}\)において定義されていることが保証されます。逆に、関数\(f\)の定義域\(I\)が区間でない場合、ある\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味をなさなくなってしまいます。
繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(x_{1}=x_{2}\)の場合や\(\lambda =0,1\)の場合に上の条件は明らかに成り立つため、準凸関数を以下のように定義することもできます。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。自然対数関数は狭義単調増加関数であるため\(\ln \left( x_{1}\right) \leq \ln \left(x_{2}\right) \)であり、したがって、\begin{eqnarray*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\max
\left\{ \ln \left( x_{1}\right) ,\ln \left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =\ln \left(
x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&\ln \left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\leq &\ln \left( \lambda x_{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ \ln \left( x\right) \text{は狭義単調増加} \\
&=&\ln \left( x_{2}\right) \\
&=&\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凸関数であることが示されました。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。関数\(2x\)は狭義単調増加関数であるため\(2x_{1}\leq 2x_{2}\)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\max
\left\{ 2x_{1},2x_{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&2x_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =2x_{2}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&2\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\leq &2\left( \lambda x_{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ 2x\text{は狭義単調増加} \\
&=&2x_{2} \\
&=&\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凸関数であることが示されました。
\leq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ x_{1}<x_{2}\Rightarrow f\left( x_{1}\right)
\geq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。単調関数は準凸関数です（演習問題）。ちなみに、逆は成立するとは限りません。つまり、準凸関数は単調関数であるとは限らないということです。実際、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2} & \left( if\ x\leq 0\right) \\
0 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
\left( x-2\right) ^{2}-1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は準凸関数である一方で単調関数ではありません（演習問題）。
これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。
この関数\(f\)は準凸関数である一方で、点\(c\)において微分可能ではありません。準凸関数は微分可能であるとは限らないということです。
準凸関数と凸関数の関係
凸関数は準凸関数であることが保証されます。
上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、準凸関数は凸関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
先に示したように、この関数\(f\)は準凸関数です。一方、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凸関数ではありません。より正確には、\(f\)の2階偏導関数は、任意の\(x\in \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}<0
\end{equation*}を満たしますが、これは\(f\)が凸関数でないことを意味します。
1変数の準凹関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくは区間を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凹関数（quasi-concave function）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることの意味を視覚的に理解します（上図）。準凹関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{eqnarray*}A &:&\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) \\
B &:&\left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を任意に選びます。点\(A\)は点\(B\)よりも下方に位置するため、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}です。一方、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域上にある点\(P\)の座標は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。準凹関数の定義より、点\(P\)の\(y\)座標が点\(A\)の\(y\)座標以上であること、すなわち、点\(P\)の高さは点\(A\)の高さと同じもしくはより上方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、結局、\(f\)が準凹関数である場合、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(B\)と同じ高さもしくはそれより上方にあることが保証されます。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは上に凸であるため、\(f\)は凹関数でもあります。
上図のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凹関数です。実際、\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{eqnarray*}A &:&\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) \\
B &:&\left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、点\(A\)は点\(B\)よりも下方に位置するため、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}となりますが、\(f\)のグラフ上の点\(A,B\)を端点とする領域全体が点\(A\)と同じ高さもしくはそれより上方に位置するからです。ちなみに、この関数\(f\)のグラフは下に凸であるため、\(f\)は凹関数ではありません。準凹関数は凹関数であるとは限らないということです。
準凹関数\(f\)の定義域\(I\)は区間である必要がありますが、その理由は準凸関数の定義域が区間でなければならない理由と同様です。つまり、\(f\)の定義域\(I\)が区間であれば任意の点\(x_{1},x_{2}\in I\)およびスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)に対して\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\)において定義されることが保証されるため、準凹関数の定義を構成する不等式が成立するか検討できます。
繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(x_{1}=x_{2}\)の場合や\(\lambda =0,1\)の場合に上の条件は明らかに成り立つため、準凹関数を以下のように定義することもできます。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凹関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。自然対数関数は狭義単調増加関数であるため\(\ln \left( x_{1}\right) \leq \ln \left(x_{2}\right) \)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\min
\left\{ \ln \left( x_{1}\right) ,\ln \left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =\ln \left(
x_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&\ln \left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\ln \left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ \ln \left( x\right) \text{は狭義単調増加} \\
&=&\ln \left( x_{1}\right) \\
&=&\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凹関数であることが示されました。ちなみに、先に確認したように、この関数\(f\)は準凸関数でもあります。この例は、準凸かつ準凹であるような関数が存在することを示唆しています。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選びます。\(x_{1}\leq x_{2}\)としても一般性は失われません。関数\(2x\)は狭義単調増加関数であるため\(2x_{1}\leq 2x_{2}\)となり、したがって、\begin{eqnarray*}\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} &=&\min
\left\{ 2x_{1},2x_{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&2x_{1}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} =2x_{1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) &=&2\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &2\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right) \quad
\because x_{1}\leq x_{2},\ 2x\text{は狭義単調増加} \\
&=&2x_{1} \\
&=&\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が準凹関数であることが示されました。ちなみに、先に確認したように、この関数\(f\)は準凸関数でもあります。
\leq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ x_{1}<x_{2}\Rightarrow f\left( x_{1}\right)
\geq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。単調関数は準凹関数です（演習問題）。ちなみに、逆は成立するとは限りません。つまり、準凹関数は単調関数であるとは限らないということです。実際、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-x^{2} & \left( if\ x\leq 0\right) \\
0 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
-\left( x-2\right) ^{2}+1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数である一方で単調関数ではありません（演習問題）。
これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。
この関数\(f\)は準凹関数である一方で、点\(c\)において微分可能ではありません。準凹関数は微分可能であるとは限らないということです。
準凹関数と凹関数の関係
凹関数は準凹関数であることが保証されます。
上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、準凹関数は凹関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。
この関数\(f\)は準凹関数である一方で、そのグラフは下に凸であるため、\(f\)は凹関数ではありません。より正確には、\(f\)の2階偏導関数は、任意の\(x\in \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}>0
\end{equation*}を満たしますが、これは\(f\)が凹関数でないことを意味します。
準凸関数と準凹関数の関係
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が準凸関数であることは\(-f\)が準凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が準凹関数であることは\(-f\)が準凸関数であることと必要十分になります。
&&\left( b\right) \ f\text{が準凹関数}\Leftrightarrow -f\text{が準凸関数}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は準凸かつ準凹です。したがって上の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}-f\left( x\right) =-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸かつ準凹です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は準凸かつ準凹です。したがって上の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}-f\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた準凸かつ準凹です。
1変数の準線型関数
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸かつ準凹である場合、このような関数\(f\)を準線型関数（quasi linear function）と呼びます。定義より、\(f\)が準線型関数であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1},f\left( x_{2}\right) \right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は準凸かつ準凹であるため、これは準線型関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は準凸かつ準凹であるため、これは準線型関数です。
\leq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ x_{1}<x_{2}\Rightarrow f\left( x_{1}\right)
\geq f\left( x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。先に示したように、単調関数は準凸かつ準凹であるため、単調関数は準線型です。
\end{equation*}と表現されるということです。\(a\geq 0\)の場合に\(f\)は単調増加関数であり、\(a\leq 0\)の場合に\(f\)は単調減少関数であるため、いずれの場合にも\(f\)は準凸かつ準凹です。したがって\(f\)は準線型です。線型関数は準線型であるということです。
演習問題
- \(f\)が準凸関数ではないという主張を定式化してください。
- \(f\)が準凹関数ではないという主張を定式化してください。
- \(f\)が準凸関数と準凹関数のどちらでもないような状況は起こり得るでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数、準凹関数、どちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】