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CONVEX FUNCTION / CONCAVE FUNCTION

凸関数や凹関数であるような拡大実数値関数

目次

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凸関数であるような拡大実数値関数

正の無限大\(+\infty \)を値としてとる拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に関しては、それが凸関数であることを、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義します。

例(凸関数であるような拡大実数値関数)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
+\infty & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(x_{1},x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選びます。\(x_{1},x_{2}\in\left( 0,1\right) \)である場合には、任意の\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation}\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\in \left( 0,1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となるため、\begin{eqnarray*}
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
&=&\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\quad \because x_{1},x_{2}\in
\left( 0,1\right) \\
&\geq &f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。それ以外の場合には、すなわち、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の少なくとも一方が\(0\)または\(1\)である場合には、\begin{eqnarray*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
&=&+\infty \quad \because \\
&\geq &f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)が凸関数であることが示されました。

定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)であるような拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に関しては、その有効領域(effective domain)を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)が凸関数である場合、その有効領域が凸集合であることが保証されます。

命題(凸な拡大実数値関数の有効領域は凸集合)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が凸関数であるならば、その有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合である。
証明

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例(凸な拡大実数値関数の有効領域は凸集合)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
+\infty & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この\(f\)は凸関数です。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}ですが、これは凸集合です。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に制限して得られる関数\(f:\mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凸であることを検討できます。この関数が凸関数であることは、もとの拡大実数値関数が凸関数であるための必要十分条件です。

命題(拡大実数値関数が凸関数であるための必要十分条件)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凸関数であるための必要十分条件である。
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例(凸関数の定義域の拡大)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\quad x\in X\right) \\
+\infty & \left( if\quad x\not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が定義可能です。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =X
\end{equation*}を満たすため、上の命題より、\(f\)が凸関数であるならば\(g\)もまた凸関数です。この例は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合上に定義された凸関数から\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された凸関数を常に生成できることを意味します。

 

凹関数であるような拡大実数値関数

負の無限大\(-\infty \)を値としてとる拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に関しては、それが凹関数であることを、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義します。

例(凹関数であるような拡大実数値関数)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(x_{1},x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選びます。\(x_{1},x_{2}\in\left( 0,1\right) \)である場合には、任意の\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation}\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\in \left( 0,1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となるため、\begin{eqnarray*}
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
&=&\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\quad \because x_{1},x_{2}\in
\left( 0,1\right) \\
&\leq &f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。それ以外の場合には、すなわち、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の少なくとも一方が\(0\)または\(1\)である場合には、\begin{eqnarray*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
&=&-\infty \quad \because \\
&\leq &f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)が凹関数であることが示されました。

定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)であるような拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に関しては、その有効領域(effective domain)を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ -\infty <f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)が凹関数である場合、その有効領域が凸集合であることが保証されます。

命題(凹な拡大実数値関数の有効領域は凸集合)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が凹関数であるならば、その有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合である。
証明

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例(凹な拡大実数値関数の有効領域は凸集合)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この\(f\)は凹関数です。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}ですが、これは凸集合です。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に制限して得られる関数\(f:\mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凹であることを検討できます。この関数が凹関数であることは、もとの拡大実数値関数が凹関数であるための必要十分条件です。

命題(拡大実数値関数が凹関数であるための必要十分条件)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件である。
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例(凹関数の定義域の拡大)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\quad x\in X\right) \\
-\infty & \left( if\quad x\not\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が定義可能です。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =X
\end{equation*}を満たすため、上の命題より、\(f\)が凹関数であるならば\(g\)もまた凹関数です。この例は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合上に定義された凹関数から\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された凹関数を常に生成できることを意味します。

次回は狭義凸関数および狭義凹関数について解説します。

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関連知識

凸関数・凹関数

凸関数・凹関数

定義域が凸集合であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼びます。また、定義域が凸集合であるとともに、そのグラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。凸関数や凹関数の概念はスカラー場(多変数関数)にも容易に拡張されます。

DISCUSSION

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