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CONVEX FUNCTION / CONCAVE FUNCTION

凸関数・凹関数

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凸関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を凸関数(convex function)と呼びます。

凸関数の定義域は凸集合である必要がありますが、その理由は以下の通りです。関数\(f\)が凸関数であることとは、定義域の点\(x_{1},x_{2}\in X\)とスカラー\(\lambda\in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
\geq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立するか否かを検討するためには右辺の値\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\in X\)であること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\)において定義されていることが保証されます。逆に、\(f\)の定義域\(X\)が凸集合でない場合、ある\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味を持たなくなってしまいます。

図:凸関数
図:凸関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。凸関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。この2つの点を結ぶ線分上に存在するそれぞれの点\(P\)は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。一方、点\(P\)と\(x\)座標を共有する関数\(f\)のグラフ上の点\(Q\)は、\begin{equation*}Q:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}ですが、凸関数の定義より、点\(P\)の\(y\)座標が点\(Q\)の\(y\)座標以上であること、すなわち点\(P\)の位置は点\(Q\)の位置と同じもしくは点\(Q\)より上方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、線分\(AB\)上の任意の点の位置は\(f\)のグラフ上もしくはそれより上方であることが保証されます。\(f\)上の任意の2つの点\(A,B\)についても同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が凸関数である場合、そのグラフは直線もしくは谷型の曲線になります。このような事情を踏まえた上で、凸関数を下に凸な関数(convex downward)と呼ぶこともあります。

例(凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は2次関数でありそのグラフは下に凸な放物線であるため凸関数であることが予測されます。実際、定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2}\right) -f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}^{2}-\left[ \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\lambda x_{2}^{2}-\lambda
^{2}x_{1}^{2}-2\lambda x_{1}x_{2}+2\lambda ^{2}x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}+2\lambda
x_{2}^{2}-\lambda ^{2}x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{1}^{2}-2\left( \lambda -\lambda
^{2}\right) x_{1}x_{2}+\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left(
x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\geq &0\quad \because \lambda \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
\geq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)が凸関数であることが示されました。
例(凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は1次関数であるためそのグラフは直線です。定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2}\right) -f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \\
&=&\lambda 2x_{1}+\left( 1-\lambda \right) 2x_{2}-2\left[ \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
=f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)が凸関数であることが示されました。この例は、グラフが直線であるような関数、もしくはグラフに直線部分が存在するような関数もまた凸関数になり得ることを示唆しています。

スカラー場すなわち多変数関数についても凸関数の概念は容易に拡張されます。具体的には、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とするスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を凸関数と呼びます。

例(凸関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、定義域上の点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) \geq f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため(演習問題にします)、\(f\)は凸関数です。

これまで提示した例から明らかであるように、定義に遡って関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、より扱いやすい凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

 

凹関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を凹関数(concave function)と呼びます。

凹関数\(f\)の定義域\(X\)は凸集合である必要がありますが、その理由は凸関数の定義域が凸集合でなければならない理由と同様です。つまり、\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば任意の\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)x_{2}\)において定義されることが保証されるため、上の不等式が成立するか否かを検討できます。

図:凹関数
図:凹関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。凹関数\(f\)のグラフ上の2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。この2つの点を結ぶ線分上に存在するそれぞれの点\(Q\)は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}Q:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。一方、点\(Q\)と\(x\)座標を共有する関数\(f\)のグラフ上の点\(P\)は、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}ですが、凹関数の定義より、点\(Q\)の\(y\)座標が点\(P\)の\(y\)座標以下であること、すなわち点\(Q\)の位置は点\(P\)の位置と同じもしくは点\(P\)より下方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、線分\(AB\)上の任意の点の位置は\(f\)のグラフ上もしくはそれより下方であることが保証されます。\(f\)上の任意の2つの点\(A,B\)についても同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が凹関数である場合、そのグラフは直線もしくは山型の曲線になります。このような事情を踏まえた上で、凹関数を上に凸な関数(convex upward)と呼ぶこともあります。

例(凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は2次関数でありそのグラフは上に凸な放物線であるため凹関数であることが予測されます。実際、定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) -\left[
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right] \\
&=&-\left[ \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}-\left[
-\lambda x_{1}^{2}-\left( 1-\lambda \right) x_{2}^{2}\right] \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\lambda x_{2}^{2}-\lambda
^{2}x_{1}^{2}-2\lambda x_{1}x_{2}+2\lambda ^{2}x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}+2\lambda
x_{2}^{2}-\lambda ^{2}x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{1}^{2}-2\left( \lambda -\lambda
^{2}\right) x_{1}x_{2}+\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left(
x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\geq &0\quad \because \lambda \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \geq \lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)が凹関数であることが示されました。
例(凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は1次関数であるためそのグラフは直線です。先ほどこの関数\(f\)が凸関数であることを示しましたが、これは凹関数でもあります。実際、定義域上の点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) -\left[
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right] \\
&=&2\left[ \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] -\left[
\lambda 2x_{1}+\left( 1-\lambda \right) 2x_{2}\right] \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) =\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つからです。この例は、グラフが直線であるような関数、もしくはグラフに直線部分が存在するような関数もまた凹関数になり得ることを示唆しています。また、凸関数かつ凹関数であるような関数が存在することも示唆しています。

スカラー場すなわち多変数関数についても凹関数の概念は容易に拡張されます。具体的には、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とするスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を凹関数と呼びます。

例(凹関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、定義域上の点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) \leq f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため(演習問題にします)、\(f\)は凹関数です。

これまで提示した例から明らかであるように、定義に遡って関数が凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、より扱いやすい凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

 

凸関数と凹関数の関係

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるスカラー場\(-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凸関数であることは\(-f\)が凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が凹関数であることは\(-f\)が凸関数であることと必要十分です。

命題(凸関数と凹関数の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{が凸関数}\Leftrightarrow
-f\text{が凹関数} \\
&&\left( b\right) \ f\text{が凹関数}\Leftrightarrow
-f\text{が凸関数}
\end{eqnarray*}
証明

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例(凸関数と凹関数の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は凸関数です。したがって上の命題より、それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}-f\left( x,y\right) =-\left( x+y\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(-f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数です。
例(凸関数と凹関数の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は凹関数です。したがって上の命題より、それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}-f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(-f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です。

スカラー場は凸関数や凹関数であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(凸関数や凹関数ではないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合ですが、\(f\)は凸関数と凹関数のいずれでもありません(演習問題にします)。

 

演習問題

問題(凸関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数であることを示してください。
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問題(凹関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凹関数であることを示してください。
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問題(凸関数や凹関数ではないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数と凹関数のいずれでもないことを示してください。
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次回は拡大実数値関数が凸関数や凹関数であることの意味を定義します。

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