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CONVEX FUNCTION / CONCAVE FUNCTION

狭義凸関数・狭義凹関数

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狭義凸関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を狭義凸関数(strictly convex function)と呼びます。

狭義凸関数はどのような点において凸関数と異なるのでしょうか。ちなみに、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることとは、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。最も大きな違いは、凸関数は大小関係\(\geq \)を用いて定義されているのに対し、狭義凸関数は狭義大小関係\(>\)を用いて定義されているという点です。それにあわせて、狭義凸関数の定義中の点\(x_{1},x_{2}\)は\(X\)の異なる点であるとともに、スカラー\(\lambda \)が動く範囲は閉区間\(\left[ 0,1\right] \)ではなく開区間\(\left( 0,1\right) \)と指定されています。なぜなら、仮に\(x_{1}\)と\(x_{2}\)が同じ点であるならば、狭義凸関数を定義する不等式は、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{1}\right)
>f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x_{1}\right) >f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}となり、定義そのものが意味をなさなくなってしまうからです。また、仮に\(\lambda \)が\(0\)や\(1\)を値としてとり得ることを認めてしまうと、狭義凸関数を定義する不等式は、\begin{eqnarray*}0f\left( x_{1}\right) +\left( 1-0\right) f\left( x_{2}\right) &>&f\left(
0x_{1}+\left( 1-0\right) x_{2}\right) \\
1f\left( x_{1}\right) +\left( 1-1\right) f\left( x_{2}\right) &>&f\left(
1x_{1}+\left( 1-1\right) x_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{2}\right) &>&f\left( x_{2}\right) \\
f\left( x_{1}\right) &>&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}などとなり、この場合にも定義そのものが意味をなさなくなってしまいます。

凸関数と同様、狭義凸関数の定義域もまた凸集合である必要があります。つまり、関数\(f\)が狭義凸関数であることとは、定義域の異なる点\(x_{1},x_{2}\in X\)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
>f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立するか否かを検討するためには右辺の値\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\in X\)であること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\)において定義されていることが保証されます。逆に、\(f\)の定義域\(X\)が凸集合でない場合、ある\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味を持たなくなってしまいます。

図:狭義凸関数
図:狭義凸関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。狭義凸関数\(f\)のグラフ上の異なる2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。この2つの点を結ぶ線分から両端を除いた部分に存在するそれぞれの点\(P\)は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。一方、点\(P\)と\(x\)座標を共有する関数\(f\)のグラフ上の点\(Q\)は、\begin{equation*}Q:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}ですが、狭義凸関数の定義より、点\(P\)の\(y\)座標が点\(Q\)の\(y\)座標より大きいこと、すなわち点\(P\)の位置は点\(Q\)の位置よりも上方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、線分\(AB\)から両端を除いた部分に存在する任意の点の位置は\(f\)のグラフよりも上方であることが保証されます。\(f\)上の異なる任意の2つの点\(A,B\)についても同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が狭義凸関数である場合、そのグラフは谷型の曲線になります。

例(狭義凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は2次関数でありそのグラフは下に凸な放物線であるため狭義凸関数であることが予測されます。実際、定義域上の異なる点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2}\right) -f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}^{2}-\left[ \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\lambda x_{2}^{2}-\lambda
^{2}x_{1}^{2}-2\lambda x_{1}x_{2}+2\lambda ^{2}x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}+2\lambda
x_{2}^{2}-\lambda ^{2}x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{1}^{2}-2\left( \lambda -\lambda
^{2}\right) x_{1}x_{2}+\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left(
x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&>&0\quad \because \lambda \in \left( 0,1\right) ,x_{1}\not=x_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
>f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)が狭義凸関数であることが示されました。

スカラー場すなわち多変数関数についても狭義凸関数の概念は容易に拡張されます。具体的には、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とするスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を凸関数と呼びます。

例(狭義凸関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、定義域上の異なる点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) >f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため(演習問題にします)、\(f\)は狭義凸関数です。

これまで提示した例から明らかであるように、定義に遡って関数が狭義凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、より扱いやすい狭義凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

 

狭義凹関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を狭義凹関数(strictly concave function)と呼びます。

狭義凹関数\(f\)の定義域\(X\)は凸集合である必要がありますが、その理由は狭義凸関数の定義域が凸集合でなければならない理由と同様です。つまり、\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば任意の異なる\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されることが保証されるため、上の不等式が成立するか否かを検討できます。

図:狭義凹関数
図:狭義凹関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凹関数であることの意味を視覚的に理解します(上図)。凹関数\(f\)のグラフ上の異なる2つの点\begin{equation*}A:\left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) ,\quad B:\left( x_{2},f\left(
x_{2}\right) \right)
\end{equation*}を任意に選びます。この2つの点を結ぶ線分から端点を除いた部分に存在するそれぞれの点\(Q\)は、何らかのスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}Q:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right)
\end{equation*}と表すことができます。一方、点\(Q\)と\(x\)座標を共有する関数\(f\)のグラフ上の点\(P\)は、\begin{equation*}P:\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2},f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \right)
\end{equation*}ですが、狭義凹関数の定義より、点\(Q\)の\(y\)座標が点\(P\)の\(y\)座標より小さいこと、すなわち点\(Q\)の位置は点\(P\)の位置より下方であることが保証されます。任意の\(\lambda \)について同様の議論が成り立つため、線分\(AB\)から端点を除いた部分に存在する任意の点の位置は\(f\)のグラフより下方であることが保証されます。\(f\)上の任意の異なる2つの点\(A,B\)についても同様の議論が成立するため、結局、\(f\)が狭義凹関数である場合、そのグラフは山型の曲線になります。

例(狭義凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は2次関数でありそのグラフは上に凸な放物線であるため狭義凹関数であることが予測されます。実際、定義域上の異なる点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) -\left[
\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \right] \\
&=&-\left[ \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}-\left[
-\lambda x_{1}^{2}-\left( 1-\lambda \right) x_{2}^{2}\right] \\
&=&\lambda x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\lambda x_{2}^{2}-\lambda
^{2}x_{1}^{2}-2\lambda x_{1}x_{2}+2\lambda ^{2}x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}+2\lambda
x_{2}^{2}-\lambda ^{2}x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{1}^{2}-2\left( \lambda -\lambda
^{2}\right) x_{1}x_{2}+\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) x_{2}^{2} \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left(
x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&>&0\quad \because \lambda \in \left( 0,1\right) \text{および}x_{1}\not=x_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) >\lambda f\left(
x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)が狭義凹関数であることが示されました。

スカラー場すなわち多変数関数についても狭義凹関数の概念は容易に拡張されます。具体的には、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とするスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を狭義凹関数と呼びます。

例(狭義凹関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。さらに、定義域上の異なる点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) <f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため(演習問題にします)、\(f\)は狭義凹関数です。

これまで提示した例から明らかであるように、定義に遡って関数が狭義凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、より扱いやすい狭義凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

 

狭義凸関数と狭義凹関数の関係

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるスカラー場\(-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が狭義凸関数であることは\(-f\)が狭義凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が狭義凹関数であることは\(-f\)が狭義凸関数であることと必要十分です。

命題(狭義凸関数と狭義凹関数の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{が狭義凸関数}\Leftrightarrow -f\text{が狭義凹関数} \\
&&\left( b\right) \ f\text{が狭義凹関数}\Leftrightarrow -f\text{が狭義凸関数}
\end{eqnarray*}
証明

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例(狭義凸関数と狭義凹関数の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は狭義凸関数です。したがって上の命題より、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}-f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(-f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義凹関数です。

スカラー場は狭義凸関数や狭義凹関数であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(狭義凸や狭義凹ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は凸集合です。\(f\)は1次関数であるためそのグラフは直線です。数直線上の異なる点\(0,1\in \mathbb{R} \)とスカラー\(\frac{1}{2}\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}f\left( 0\right) +\left( 1-\frac{1}{2}\right) f\left( 1\right)
&=&\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=1 \\
f\left( \frac{1}{2}\cdot 0+\left( 1-\frac{1}{2}\right) 1\right) &=&f\left(
\frac{1}{2}\right) =1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{2}f\left( 0\right) +\left( 1-\frac{1}{2}\right) f\left( 1\right)
=f\left( \frac{1}{2}\cdot 0+\left( 1-\frac{1}{2}\right) 1\right)
\end{equation*}となるため、\(f\)は狭義凸関数や狭義凹関数ではありません。

 

演習問題

問題(狭義凸関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
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次回から関数が凸ないし凹であることを判定する方法について解説します。

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