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凸集合の直積

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凸集合の直積

ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ与えられたとき、それらの直積は、\begin{equation*}A_{1}\times A_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ x_{1}\in A_{1}\wedge x_{2}\in A_{2}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。

例(集合の直積)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left( 0,1\right) \right\} \\
A_{2} &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、\(A_{1}\)の点\(\left( x_{1},y_{1}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(B\)の点\(\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の順序対を、\begin{equation*}\left( \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \right) =\left(
x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)の直積は、\begin{eqnarray*}A_{1}\times A_{2} &=&\left\{ \left( 1,0,0,0\right) ,\left( 1,0,1,1\right)
,\left( 0,1,0,0\right) ,\left( 0,1,1,1\right) \right\} \\
A_{2}\times A_{1} &=&\left\{ \left( 0,0,1,0\right) ,\left( 0,0,0,1\right)
,\left( 1,1,1,0\right) ,\left( 1,1,0,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}などとなります。これらは\(\mathbb{R} ^{4}\)の部分集合です。
例(集合の直積)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A &=&\left[ -1,1\right] \\
B &=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}が与えられたとき、それらの直積は、\begin{equation*}
A\times B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -1\leq x\leq 1\wedge -1\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。
例(空集合との直積)
空集合\(\phi \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、空集合と任意の集合\(A\subset \mathbb{R} ^{m}\)の直積をとることができますが、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題にします)。

ユークリッド空間の部分集合\(A_{1},A_{2}\)が凸集合である場合、それらの直積もまた凸集合になります。

命題(凸集合の直積)
ユークリッド空間の部分集合である\(A_{1}\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A_{2}\subset \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A_{1}\)と\(A_{2}\)がともに凸集合ならば\(A_{1}\times A_{2}\)もまた凸集合である。
証明

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凸集合族の直積

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の有限部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)が与えられたとき、その直積は、\begin{equation*}\prod_{i=1}^{k}A_{i}=\left\{ \left( x_{i}\right) _{i=1}^{k}\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,k\right\} :x_{i}\in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{kn}\)の部分集合です。

ユークリッド空間の有限部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)の要素であるすべての集合\(A_{i}\)が凸集合である場合、この集合族の直積もまた凸集合になります。

命題(凸集合族の直積)

ユークリッド空間の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}\)が与えられたとき、その任意の要素\(A_{i}\ \left(i=1,\cdots ,k\right) \)が凸集合ならば\(\prod_{i=1}^{k}A_{i}\)もまた凸集合である。

証明

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例(凸集合族の直積)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は有限\(n\)個の実数空間\(\mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \end{equation*}と理解することもできます。\(\mathbb{R} \)は凸集合であるため、上の命題より\(\mathbb{R} ^{n}\)もまた凸集合です。

 

演習問題

問題(空集合との直積)
任意の集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(凸集合の直積)
以下のような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] ^{n}
\end{equation*}は凸集合であることを証明してください。
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次回は凸集合どうしの共通部分や和集合について解説します。

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