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CONVEX SET

狭義凸集合

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狭義凸結合

ユークリッド空間上の有限個の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}をともに満たすスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}x_{1}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)の狭義凸結合(strict convex combination)と呼びます。

例(2つの点の狭義凸結合)
2つの点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)の狭義凸結合は、\(\lambda _{1}>0\)かつ\(\lambda _{2}>0\)かつ\(\lambda_{1}+\lambda _{2}=1\)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の点ですが、\(\lambda _{2}=1-\lambda_{1}\)であることを踏まえると、上の狭義凸結合を、\begin{equation*}\lambda _{1}x_{1}+\left( 1-\lambda _{1}\right) x_{2}
\end{equation*}と言い換えることができます。ただし、\(\lambda _{2}>0\)より\(1-\lambda _{1}>0\)すなわち\(\lambda _{1}<1\)でなければなりません。つまり、2つの点の狭義凸結合を表現するにはスカラーが1つあれば十分であるということです。以上の議論を踏まえた上で改めて整理すると、2つの点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)の狭義凸結合は、\(0<\lambda <1\)を満たすスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の点です。
例(狭義凸結合は凸結合)
点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の狭義凸結合は凸結合である一方、その逆は成立するとは限りません(演習問題にします)。

ユークリッド空間上の異なる2つの点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それらの狭義凸結合をすべて集めてできる集合は、\begin{equation*}\left\{ \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\ |\ \lambda \in \left(
0,1\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは点\(x_{1},x_{2}\)を両端とする線分から両端の点を除いて得られる部分に相当します。つまり、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)が異なる点である場合、\(\lambda \)を変数とみなして\(\left( 0,1\right) \)内で自由に動かすと、狭義凸結合\(\lambda x_{1}+\left(1-\lambda \right) x_{2}\)に相当する点は\(x_{1}\)と\(x_{2}\)を両端とする線分から両端の点を除いて得られる部分を動くということです(下図)。

図:2つの点を両端とする線分
図:2つの点を両端とする線分

 

狭義凸集合

ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その2つの異なる要素\(x_{1},x_{2}\in A\)を任意に選びます。このとき、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の任意の狭義凸結合が\(A\)の内部\(A^{i}\)の点になるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x_{1}\in A,\ \forall x_{2}\in A\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\in A^{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には\(A\)を狭義凸集合(strict convex set)と呼びます。

先に指摘したように、異なる2つの点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\lambda \)を変数とみなして\(\left( 0,1\right) \)内で自由に動かすと、狭義凸結合\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)に相当する点は\(x_{1}\)と\(x_{2}\)を両端とする線分から両端の点を除いて得られる部分を動きます。したがって、\(A\)が狭義凸集合であることの定義を「\(A\)の異なる2つの点を任意に選んだとき、それらを端点とする線分から両端を除いた部分が\(A\)の内部の部分集合になる」と言い換えることもできます。

例(狭義凸集合)
以下の図で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(A\)は狭義凸集合です。実際、\(A\)上の異なる2つの点を任意に選んだとき、それらを結んで得られる線分から両端を除いた部分全体が\(A\)の内部に含まれるからです。
図:狭義凸集合
図:狭義凸集合

以下の図で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(B\)は狭義凸集合ではありません。実際、下図のような\(B\)上の2つの点\(x_{1},x_{2}\)に関しては、それらを結んで得られる線分から両端を除いた部分の中に\(B\)の点でないものが存在するからです。

図:狭義凸集合ではない
図:狭義凸集合ではない

以下の図で表される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(C\)は狭義凸集合ではありません。実際、下図のような\(C\)上の2つの点\(x_{1},x_{2}\)に関しては、それらを結んで得られる線分から両端を除いた部分の中に\(C\)の点でないものが存在するからです。

図:狭義凸集合ではない
図:狭義凸集合ではない
例(ユークリッド空間は狭義凸集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は自身の部分集合ですが、これは明らかに狭義凸集合です。実際、異なる点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つからです。

 

狭義凸集合の代替的な定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が狭義凸集合である場合には、\(A\)の異なる任意の2つの点の任意の狭義凸結合が\(A\)の内点になるだけでなく、実は、\(A\)の異なる任意個の任意の点の任意の狭義凸結合もまた\(A\)の内点になります。ただし、\(A\)の点の狭義凸結合は\(A\)の有限個の点に対して定義される概念であることを踏まえると、これは、\(A\)の有限個の異なる任意の点の任意の狭義凸結合が\(A\)の内点になるという主張になります。つまり、\(A\)が狭義凸集合である場合には、任意(有限)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす任意のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lambda _{1}x_{1}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}\in A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。これは狭義凸結合を構成する\(A\)の点の個数に関する数学的帰納法によって示すことができます(演習問題にします)。

逆に、\(A\)の任意(有限)個の任意の異なる点の任意の狭義凸結合が\(A\)の内点である場合、その特殊ケースとして、\(A\)の任意の異なる2つの点の任意の凸結合が\(A\)の内点になりますが、これは\(A\)が狭義凸集合であることの定義に他なりません。したがって狭義凸集合の定義を以下のように言い換えることができます。

命題(狭義凸集合の特徴づけ)
ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その任意(有限)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in A\)を任意に選ぶ。これらの点の任意の狭義凸結合が\(A\)の内点であることは、\(A\)が狭義凸集合であるための必要十分条件である。
証明

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凸集合と狭義凸集合の関係

狭義凸集合は凸集合とどのような点において異なるのでしょうか。下図のグレーの領域で表された集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)については、その異なる2つの点\(x_{1},x_{2}\in A\)を任意に選んだとき、それらを結ぶ線分から両端の点を除いたすべての部分は\(A\)の内部に属するため\(A\)は狭義凸集合です。同時に、\(A\)は凸集合でもあります。

図:凸集合かつ狭義凸集合
図:凸集合かつ狭義凸集合

一方、下図のグレーの領域で表された集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)については、図中の点\(x_{1},x_{2}\in A\)に注目したとき、それらを結ぶ線分上には\(A\)の内点ではない点(図中の黒い点)が存在するため\(A\)は狭義凸集合ではありません。一方、\(A\)は凸集合です。つまり、狭義凸集合とは凹みや穴が存在しないだけでなく、境界に直線部分を持たないような集合のことです。

図:凸集合だが狭義凸集合ではない
図:凸集合だが狭義凸集合ではない

狭義凸集合は常に凸集合です。

命題(狭義凸集合は凸集合)
ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が狭義凸集合であるならば、\(A\)は凸集合である。
証明

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先に図を用いて確認したように、上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、凸集合は狭義凸集合であるとは限りません。

例(凸だが狭義凸ではない集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である\(\left[0,1\right] ^{n}\)は凸集合ですが狭義凸集合ではありません(演習問題にします)。

 

演習問題

問題(狭義凸結合と凸結合)
点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)の狭義凸結合は凸結合である一方、その逆は成立するとは限らないことを示してください。
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問題(非負実数空間の直積は狭義凸集合ではない)
\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)が狭義凸集合でないことを証明してください。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。
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問題(正実数空間の直積は狭義凸集合)
\(\mathbb{R} _{++}^{n}\)が狭義凸集合であることを証明してください。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。
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問題(有界開区間は狭義凸集合)
1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間を、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}と定義します。これが狭義凸集合であることを証明してください。
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問題(点の近傍は狭義凸集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が狭義凸集合であることを示してください。
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問題(点の閉近傍は狭義凸集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)が狭義凸集合であることを示してください。
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問題(凸だが狭義凸ではない集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である\(\left[0,1\right] ^{n}\)は凸集合である一方、狭義凸集合ではないことを示してください。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。
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次回から凸集合の集合演算について学びます。

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