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閉グラフを用いた対応の連続性の判定

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閉グラフを持つ対応

位相が導入されている集合\(A,B\)について考えます。\(A,B\)が距離空間である場合やユークリッド空間である場合などを想定してください。対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in A\times B\ |\ y\in f\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されますが、グラフ\(G\left( f\right) \)が\(A\times B\)上の閉集合である場合には、\(f\)は閉グラフ(closed graph)を持つと言います。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)および定義域上の点\(a\in A\)が与えられたとき、この点\(a\)に収束する\(A\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a\in A
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。さらに、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と対応\(f\)から、任意の番号\(v\)について\(y_{v}\in f\left( x_{v}\right) \)が成り立つとともに点\(b\in B\)へ収束する\(B\)上の点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\in f\left( x_{v}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\in B \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=b\in B
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。以上のように選ばれた任意の点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)の極限の間に、\begin{equation*}b\in f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つのであれば、\(f\)は\(a\)において閉じている(closed at \(a\))と言います。さらに、\(f\)が定義域\(A\)上の任意の点において閉じているならば、\(f\)は閉じている(closed)と言います。

対応\(f\)が点\(a\)において閉じているためには、以上の条件を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは不十分であり、以上の条件を満たす「任意の」点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{y_{v}\right\} \)について\(b\in f\left( a\right) \)が成り立つことを示す必要があることに注意が必要です。

対応が閉グラフを持つことと、対応が閉じていることは必要十分です。

命題(閉グラフを持つ対応の特徴づけ)
位相が導入された集合\(A,B\)に関する対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して、\(f\)が閉グラフを持つことと、\(f\)が閉じていることは必要十分である。
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閉グラフを用いた対応の上半連続性の判定

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が閉グラフを持つとともに、その終集合\(B\)がコンパクト集合である場合には、\(f\)は上半連続になることが保証されます。

命題(閉グラフを用いた対応の上半連続性の判定)
位相が導入された集合\(A,B\)に関する対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して、\(f\)が閉グラフを持つとともに\(B\)がコンパクト集合であるならば、\(f\)は上半連続性を満たす。
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関連知識

対応の定義

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

対応のグラフ

集合Aから集合Bへの対応fが与えられたとき、Aの要素とBの要素を成分とする順序対(a,b)の中でもa∈f(b)を満たすようなものを集めてできる集合を対応fのグラフと呼びます。

対応による像

対応が始集合の要素に対して定める像、始集合の部分集合に対して定める像、対応の値域などについて解説します。

対応による逆像・上逆像・下逆像

対応が終集合の要素に対して定める像、終集合の部分集合に対して定める上逆像(強逆像)、同じく終集合の部分集合に対して定める下逆像(弱逆像)などについて解説します。

逆像と位相を用いた対応の連続性の判定

対応の連続性(上半連続性・下半連続性)の概念は、対応が終集合の部分集合に対して定める上逆像や下逆像が満たすべき位相的性質として表現することが可能です。