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CORRESPONDENCE

対応の連続性(上半連続性・下半連続性)

目次

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対応の上半連続性

これまでは任意の集合\(A,B\)に関する対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)について考えてきましたが、ここからは\(A,B\)に位相が設定されている状況を想定します。具体的には、\(A,B\)がそれぞれ距離空間である場合やユークリッド空間である状況などを想定してください。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)の開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}f\left( a\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)の部分集合になるものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は\(a\)において上半連続(upper hemi-continuous at \(a\))であると言います。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と定義域の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、\(f\)が\(X\)上の任意の点において上半連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で上半連続である(upper hemi-continuous on \(X\))と言います。特に、対応\(f\)が定義域\(A\)上の任意の点において上半連続である場合、\(f\)は上半連続である(upper hemi-continuous)と言います。

例(対応の上半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x<1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x=1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。

図:対応
図:対応

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において上半連続であることを示します。そこで、\begin{equation*}f\left( a\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a<1\)および\(f\)の定義より、これは、\begin{equation}\left\{ 0\right\} \subset U \quad \cdots (1)
\end{equation}を意味します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)が存在することを示すことが目標です。\(a<1\)であるため、\begin{equation}a+\varepsilon <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon >0\)をとることができます。その上で、中心が\(a\)で半径が\(\varepsilon \)の有界開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)をとります。有界な開区間は開集合であるため\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。そこでこれを\(V\)の候補とします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\left( a\right) \)は明らかに成り立ちます。以下では\(\left( b\right) \)を示します。\(v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を任意に選びます。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}v<1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( v\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}f\left( v\right) \subset U
\end{equation*}となるため\(\left( b\right) \)が成り立つことが示されました。以上より、\(f\)が点\(a\)において上半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は上半連続です(演習問題)。したがって、\(f\)は上半連続な対応です。

例(対応の上半連続性と写像の連続性の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続であることは様々な形で表現できますが、その1つは、\begin{equation*}f\left( a\right) \in U
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ f\left( V\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する、というものです。さて、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、これを、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)と同一視することができます。この対応\(g\)が定義域上の点\(a\in A\)において上半連続であることは、もとの写像\(f\)が点\(a\)において連続であることと必要十分であるため(演習問題)、対応が点において上半連続であることは、写像が点において連続であることを拡張した概念であると言えます。

 

対応の下半連続性

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)と交わる開集合を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}f\left( a\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)と交わるものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は\(a\)において下半連続(lower hemi-continuous at \(a\))であると言います。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と定義域の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、\(f\)が\(X\)上の任意の点において下半連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で下半連続である(lower hemi-continuous on \(X\))と言います。特に、対応\(f\)が定義域\(A\)上の任意の点において下半連続である場合、\(f\)は下半連続である(lower hemi-continuous)と言います。

例(対応の下半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x<1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。

図:対応
図:対応

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において下半連続であることを示します。そこで、\begin{equation*}f\left( a\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a<1\)および\(f\)の定義より、これは、\begin{equation}\left[ 0,1\right] \cap U\not=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}を意味します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)が存在することを示すことが目標です。\(a<1\)であるため、\begin{equation}a+\varepsilon <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon >0\)をとることができます。その上で、中心が\(a\)で半径が\(\varepsilon \)の有界開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)をとります。有界な開区間は開集合であるため\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。そこでこれを\(V\)の候補とします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\left( a\right) \)は明らかに成り立ちます。以下では\(\left( b\right) \)を示します。\(v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を任意に選びます。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}v<1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( v\right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}となるため\(\left( b\right) \)が成り立つことが示されました。以上より、\(f\)は点\(a\)において下半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は下半連続です(演習問題)。したがって、\(f\)は下半連続な対応です。

例(対応の下半連続性と写像の連続性の関係)
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続であることとは、\begin{equation*}f\left( a\right) \in U
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ f\left( V\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在することを意味します。写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、これを、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)と同一視することができます。この対応\(g\)が定義域上の点\(a\in A\)において下半連続であることは、もとの写像\(f\)が点\(a\)において連続であることと必要十分であるため(演習問題)、対応が点において下半連続であることは、写像が点において連続であることを拡張した概念であると言えます。

 

上半連続性と下半連続性の関係

先に例を通じて確認したように、対応に関する上半連続性と下半連続性の概念はともに、写像に関する連続性を拡張したものです。言い換えると、写像と実質的に等しい対応を議論の対象とした場合、すなわち、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を像として定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)を議論の対象とした場合、この対応\(g\)が定義域上の点において上半連続であることと下半連続であることは概念として一致します。ただ、一般の対応に関しては、上半連続性と下半連続性は概念として一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上半連続性と下半連続性の関係)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x<1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x=1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。

図:対応
図:対応

先に示したように、この対応\(f\)は点\(1\)において上半連続です。一方、この対応\(f\)は点\(1\)において下半連続ではありません。実際、\(f\left( 1\right) =\left[ 0,1\right] \)であることを踏まえると、\(0<\delta <1\)を満たす実数\(\delta \)に対して、\begin{equation}f\left( 1\right) \cap \left( 1-\delta ,1+\delta \right) \not=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。有界な開区間\(\left( 1-\delta ,1+\delta \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。他方で、\(1\in V\)を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists v\in V:f\left( v\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\exists v\in V:f\left( v\right) \cap \left( 1-\delta ,1+\delta \right) =\phi
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(1\)において下半連続ではないことが明らかになりました。

例(上半連続性と下半連続性の関係)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x<1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。

図:対応
図:対応

先に示したように、この対応\(f\)は点\(1\)において下半連続です。一方、この対応\(f\)は点\(1\)において上半連続ではありません。実際、\(f\left( 1\right) =\left\{ 0\right\} \)であることを踏まえると、\(0<\delta <1\)を満たす実数\(\delta \)に対して、\begin{equation}f\left( 1\right) \subset \left( 1-\delta ,1+\delta \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。有界な開区間\(\left( 1-\delta ,1+\delta \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。他方で、\(1\in V\)を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists v\in V:f\left( v\right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\exists v\in V:f\left( v\right) \not\subset \left( 1-\delta ,1+\delta
\right)
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(1\)において上半連続ではないことが明らかになりました。

 

対応の連続性

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が定義域上の点\(a\in A\)において上半連続かつ下半連続である場合、対応\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と定義域の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、\(f\)が\(X\)上の任意の点において連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で連続である(continuous on \(X\))と言います。特に、対応\(f\)が定義域\(A\)上の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(対応の連続性)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、これは、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を像として定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)と同一視できます。先に示したように、この対応\(g\)が定義域上の点\(a\in A\)において上半連続であること、\(g\)が\(a\)において下半連続であること、そして写像\(f\)が\(a\)において連続であることは必要十分であるため、対応が点において連続であることもまた、写像が点において連続であることを拡張した概念であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(対応の上半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x<1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x=1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。

図:対応
図:対応

この\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で上半連続であることを示してください。

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問題(対応の上半連続性と写像の連続性の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)を定義することができます。点\(a\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることと、\(g\)が点\(a\)において上半連続であることは必要十分であることを証明してください。
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問題(対応の下半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x<1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。

図:対応
図:対応

この\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で下半連続であることを示してください。

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問題(対応の下半連続性と写像の連続性の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)を定義することができます。点\(a\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることと、\(g\)が点\(a\)において下半連続であることは必要十分であることを証明してください。
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