逆対応の定義域と値域について学びます。逆対応の定義域はもとの対応の値域と、逆対応の値域はもとの対応の定義域とそれぞれ一致します。

逆対応 定義域 値域

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2019年6月9日:公開

逆対応の定義域

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)の逆対応\(f^{-1}:Y\twoheadrightarrow X\)は\(Y\)から\(X\)への写像であることから、その定義域を定義できます。具体的には、逆対応\(f^{-1}\)の定義域とは、\(x\in f^{-1}\left( y\right) \)を満たすような要素\(x\in X\)が少なくとも1つ存在するような\(Y\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}
D(f^{-1}) &=&\{y\in Y\ |\ \exists x\in X:x\in f^{-1}\left( y\right) \} \\
&=&\{y\in Y\ |\ f^{-1}\left( y\right) \not=\phi \}
\end{eqnarray*}として定義されます。

例(逆対応)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\{0\} & if\ x<1 \\ \left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right. \end{equation*}と定義するとき、その逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)は、\begin{equation*} f^{-1}\left( y\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \left[ 0,1\right] & if\ y=0 \\ \{1\} & if\ y>0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって\(f^{-1}\)の定義域は、\begin{equation*}
D\left( f^{-1}\right) =\{y\in \left[ 0,1\right] \ |\ f^{-1}\left( y\right)
\not=\phi \}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}となります。

 

逆対応の定義域は対応の値域と一致する

逆対応の定義域は対応の値域と一致します。

命題(逆対応の定義域)
対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)とその逆対応\(f^{-1}:Y\twoheadrightarrow X\)の間には、\begin{equation*}
D\left( f^{-1}\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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例(逆対応の定義域)
先ほどの例について再考します。\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\{0\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}と定義するとき、\begin{equation*}
R\left( f\right) =\{x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left( x\right) \not=\phi \}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}となります。他方で、先に示したように逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)に関しては\(D\left( f^{-1}\right) =\left[ 0,1\right] \)となるため、\(R\left( f\right) =D\left( f^{-1}\right) \)であることが示されました。この結果は上の命題と整合的です。

 

逆対応の値域

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)の逆対応\(f^{-1}:Y\twoheadrightarrow X\)は\(Y\)から\(X\)への写像であることから、その値域を定義できます。具体的には、逆対応\(f^{-1}\)の値域とは、\(x\in f^{-1}\left( y\right) \)を満たすような要素\(y\in Y\)が少なくとも1つ存在するような\(X\)の要素からなる集合\begin{equation*}
R(f^{-1})=\{x\in X\ |\ \exists y\in Y:x\in f^{-1}\left( y\right) \}
\end{equation*}として定義されます。ただし、対応\(f\)と逆対応\(f^{-1}\)の間には、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)について、\begin{equation*}
y\in f\left( x\right) \Leftrightarrow x\in f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、上の定義を、\begin{eqnarray*}
R(f^{-1}) &=&\{x\in X\ |\ \exists y\in Y:y\in f\left( x\right) \} \\
&=&\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=\phi \}
\end{eqnarray*}などと言い換えることもできます。

例(逆対応)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}と定義するとき、その逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\left[ y,1\right] \end{equation*}となります。したがって\(f^{-1}\)の値域は、\begin{eqnarray*}
R\left( f^{-1}\right) &=&\{x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left( x\right) \not=\phi \} \\
&=&\{x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left[ 0,x\right] \not=\phi \} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。

 

逆対応の値域は対応の定義域と一致する

逆対応の値域は対応の定義域と一致します。

命題(逆対応の値域)
対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)とその逆対応\(f^{-1}:Y\twoheadrightarrow X\)の間には、\begin{equation*}
R\left( f^{-1}\right) =D\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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例(逆対応の値域)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}と定義するとき、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&\{x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \exists y\in \left[ 0,1\right] :y\in f\left( x\right) \} \\
&=&\{x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \exists y\in \left[ 0,1\right] :y\in \left[ 0,x\right] \} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。他方で、先に示したように逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)に関しては\(R\left( f^{-1}\right) =\left[ 0,1\right] \)となるため、\(R\left( f^{-1}\right) =D\left( f\right) \)であることが示されました。この結果は上の命題と整合的です。

次回から合成対応について学びます。
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