対応による要素の像
復習になりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合の要素\(a\in A\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の部分集合\(f\left(a\right) \subset B\)を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の像（image）と呼びます。
\end{equation*}です。また、\(f\)による要素\(\frac{1}{2}\in \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{2}\right) =\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{equation*}です。また、\(f\)による要素\(1\in \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{equation*}f\left( 1\right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。
対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}という\(A\times B\)の部分集合として定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}b\in f\left( a\right) \Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(b\)が\(f\)による\(a\)の像の要素であることと、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。以上を踏まえると、それぞれの\(a\in A\)の像を、\begin{equation*}f\left( a\right) =\left\{ b\in B\ |\ \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{equation*}と定義することもできるため、これを下図のように視覚化できます。
対応による集合の像・対応の値域
対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)に相当する\(B\)の部分集合を定めますが、これらの像の和集合を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}と定義し、これを\(f\)による集合\(X\)の像（image）と呼びます。\(f\left( X\right) \)は\(f\)の終集合\(B\)の部分集合です。
対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の始集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域（range）と呼び、\(R\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\bigcup\limits_{a\in A}f\left( a\right) \quad \because \text{対応による像の定義}
\end{eqnarray*}です。
図より、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a,c\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1,2\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
2\right) =\left\{ a,b,c\right\} \\
f\left( \left\{ 2,3\right\} \right) &=&f\left( 2\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ a,b,c\right\} \\
f\left( \left\{ 1,3\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( 1\right) \cup f\left( 2\right) \cup f\left( 3\right) \\
&=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致する対応の例です。
図より、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1,2\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
2\right) =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \left\{ 2,3\right\} \right) &=&f\left( 2\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \left\{ 1,3\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( 1\right) \cup f\left( 2\right) \cup f\left( 3\right) \\
&=&\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致しない対応の例です。
f\left( \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \right) &=&\bigcup\limits_{0\leq x\leq
\frac{1}{2}}\left[ 0,x\right] =\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
f\left( \left( 0,\frac{1}{2}\right) \right) &=&\bigcup\limits_{0<x<\frac{1}{2}}\left[ 0,x\right] =\left[ 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&=&\bigcup\limits_{0\leq x\leq 1}\left[ 0,x\right] \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致する対応の例です。
\end{equation*}を像として定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)と同一視できます。始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{equation*}g\left( A\right) =f\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため（演習問題）、対応による集合の像は、写像による集合の像を拡張した概念です。
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left(\phi \right) =\phi \)となります。つまり、対応による空集合の像は空集合です。
繰り返しになりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)による始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &b\in \bigcup\limits_{x\in
X}f\left( x\right) \quad \because f\left( X\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:b\in f\left( x\right) \quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、対応\(f\)による\(X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right) \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b\in f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(X=A\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\bigcup\limits_{a\in A}f\left( a\right) \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b\in f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域を上のように様々な形で表現できることが明らかになりました。以上を踏まえると、対応の値域を以下のように視覚化できます。
演習問題
\end{equation*}を像として定める対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を定義します。始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{equation*}g\left( X\right) =f\left( X\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
\begin{array}{ll}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x<1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x=1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応\(f\)の値域を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この対応\(f\)の値域を求めてください。
\begin{array}{ll}
\left[ x,0\right] & \left( if\ x<0\right) \\
\left[ 0,x\right] & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応\(f\)の値域を求めてください。
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