教材一覧
教材一覧
教材検索
CORRESPONDENCE

対応による像

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

対応による要素の像

復習になりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の部分集合を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の(image)と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。

例(対応による要素の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(\left\{ c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =\left\{ c\right\} \)であることを意味します。また、\(2\)から\(a\)と\(c\)へそれぞれ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(2 \)の像が\(\left\{ a,c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 2\right) =\left\{ a,c\right\} \)であることを意味します。また、\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)であることも図から読み取れます。

図:対応による要素の像
図:対応による要素の像
例(対応による要素の像)
対応\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による要素\(0\in \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =\left[ 0,0\right] =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}です。また、\(f\)による要素\(\frac{1}{2}\in \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{equation*}です。また、\(f\)による要素\(1\in \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}という\(A\times B\)の部分集合として定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
b\in f\left( a\right) \Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(b\)が\(f \)による\(a\)の像の要素であることと\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。以上を踏まえると、それぞれの\(a\in A\)の像を、\begin{equation*}
f\left( a\right) =\left\{ b\in B\ |\ \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{equation*}と定義することもできるため、これは下図のように視覚化できます。

図:対応による要素の像
図:対応による要素の像

 

対応による集合の像・対応の値域

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)に相当する\(B\)の部分集合を定めますが、すべての\(x\)に対する\(f\left( x\right) \)の和集合を\(f\)による集合\(X\)の(image)と呼び、\(f\left( X\right) \)と表記します。つまり、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}です。\(f\left( X\right) \)は対応\(f\)の終集合\(B\)の部分集合です。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の始集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{equation*}
R\left( f\right) =f\left( A\right) =\bigcup\limits_{a\in A}f\left( a\right)
\end{equation*}です。

例(対応による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =\left\{ b\right\} \)かつ\(f\left( 2\right) =\left\{ a,c\right\} \)かつ\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1,2\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
2\right) =\left\{ a,b,c\right\} \\
f\left( \left\{ 2,3\right\} \right) &=&f\left( 2\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ a,b,c\right\} \\
f\left( \left\{ 1,3\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{equation*}
R\left( f\right) =f\left( A\right) =f\left( 1\right) \cup f\left( 2\right)
\cup f\left( 3\right) =\left\{ a,b,c\right\}
\end{equation*}となります。これは値域と終集合が一致する対応の例です。

図:対応による集合の像
図:対応による集合の像
例(対応による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =\left\{ b\right\} \)かつ\(f\left( 2\right) =\left\{ a\right\} \)かつ\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1,2\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
2\right) =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \left\{ 2,3\right\} \right) &=&f\left( 2\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \left\{ 1,3\right\} \right) &=&f\left( 1\right) \cup f\left(
3\right) =\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{equation*}
R\left( f\right) =f\left( A\right) =f\left( 1\right) \cup f\left( 2\right)
\cup f\left( 3\right) =\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります。これは値域と終集合が一致しない対応の例です。

図:対応による集合の像
図:対応による集合の像
例(対応による集合の像)
対応\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}を定めるものとします。このとき、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \right) &=&\bigcup\limits_{0\leq x\leq
\frac{1}{2}}\left[ 0,x\right] =\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
f\left( \left( 0,\frac{1}{2}\right) \right) &=&\bigcup\limits_{0<x<\frac{1}{2}}\left[ 0,x\right] =\left[ 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{equation*}
R\left( f\right) =f\left( \left[ 0,1\right] \right) =\bigcup\limits_{0\leq
x\leq 1}\left[ 0,x\right] =\left[ 0,1\right] \end{equation*}となります。これは値域と終集合が一致する対応の例です。
例(対応による集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、これは、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}
g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を像として定める対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と同一視できます。始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{equation*}
g\left( A\right) =f\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため(演習問題にします)、対応による集合の像は、写像による集合の像を拡張した概念です。
例(対応による集合の像)
空集合は任意の集合の部分集合であるため、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)による空集合\(\phi \subset A\)の像を考えることもできます。対応による集合の像の定義より、これは、\begin{equation*}
f(\phi )=\bigcup\limits_{x\in \phi }f\left( x\right)
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left( \phi \right) =\phi \)となります。つまり、対応による空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)による始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &b\in \bigcup\limits_{x\in X}f\left(
x\right) \quad \because f\left( X\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:b\in f\left( x\right) \quad \because \cup
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、対応\(f\)による\(X \)の像を、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\bigcup\limits_{x\in X}f\left( x\right) \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b\in f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(X=A\)の場合には、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\bigcup\limits_{a\in A}f\left( a\right) \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b\in f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域を上のように様々な形で表現できることが明らかになりました。以上を踏まえると、対応の値域を以下のように視覚化できます。

図:対応の値域
図:対応の値域

次回は対応による集合の要素の逆像、集合の逆像、対応の定義域などについて解説します。

質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定) 次へ進む
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録