対応 f:X↠Y とその始集合 X の部分集合 A が与えられたとき、A のそれぞれの点 x の f による像 f(x) の和集合を f による A の像と呼びます。これは写像による集合の像を一般化した概念です。

2019年4月9日:公開

集合の像

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)とその始集合\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のそれぞれの点\(x\)の\(f\)による像\(f\left( x\right) \)の和集合を、\begin{equation*}
f\left( A\right) =\bigcup\limits_{x\in A}f\left( x\right)
\end{equation*}で表し、これを\(f\)による\(A\)の像(image of \(A\))と呼びます。\(f\left( A\right) \)は明らかに\(Y\)の部分集合です。

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)の定義域\(X\)の部分集合\(A\)と終集合\(Y\)の要素\(y\)を任意に選びます。このとき\(y\in f\left( A\right) \)が成り立つならば、\(f\left( A\right) \)の定義より\(y\in f\left( x\right) \)であるような\(A\)の要素\(x\)が存在します。逆に、\(y\in f\left( x\right) \)であるような\(A\)の要素\(x\)が存在する場合には、やはり\(f\left( A\right) \)の定義より\(y\in f\left( A\right) \)が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
y\in f\left( A\right) \ \Leftrightarrow \ \exists x\in A:y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ゆえに、\(f\)による\(A\)の像を、\begin{equation*}
f\left( A\right) =\{y\in Y\ |\ \exists x\in A:y\in f\left( x\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。

例(対応による空集合の像)
対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( \phi \right) =\bigcup\limits_{x\in \phi }f\left( x\right)
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は偽ですので\(f\left( \phi \right) =\phi \)となります。つまり、対応による空集合の像は空集合です。

 

写像による集合の像との関係

写像\(f:X\rightarrow Y\)による\(X\)の部分集合\(A\)の像は、\begin{equation*}
f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されます。

写像\(f\)が上のように与えられたとき、対応\(g:X\twoheadrightarrow Y\)を、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\{f\left( x\right) \}
\end{equation*}を定めるものとして定義します。このとき、\begin{align*}
g\left( A\right) & =\bigcup\limits_{x\in A}g\left( x\right) \quad \because \text{対応による集合の像の定義} \\
& =\bigcup\limits_{x\in A}\left\{ f\left( x\right) \right\} \quad \because g\text{の定義} \\
& =\left\{ f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in A\right\} \quad \because f\left( x\right) \in Y \\
& =f\left( A\right)
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
g\left( A\right) =f\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、対応による集合の像は、写像による集合の像を拡張した概念だと言えます。

 

始集合の像は値域と一致する

対応による始集合の像は値域と一致します。

命題(始集合の像と値域の関係)
対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)について、\begin{equation*}
f\left( X\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。
証明を見る(プレミア会員限定)

次回は対応による集合の上逆像について学びます。
次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)