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CORRESPONDENCE

逆対応

逆対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)の逆像とは、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b\in f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合であるため、\(B\)のそれぞれの要素\(b\)に対して\(A\)の部分集合である\(f^{-1}\left( b\right) \)を1つずつ定める対応が定義可能です。このように定義された対応を\(f\)の逆対応(inverse correspondene)と呼び、これを、\begin{equation*}
f^{-1}:B\twoheadrightarrow A
\end{equation*}で表記します。

写像\(f:A\rightarrow B\)に対してその逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は存在するとは限らないのに対し、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は必ず存在します。なぜなら、空集合は任意の集合の部分集合であるため、仮に、ある\(b\in B\)に対して\(f^{-1}\left( b\right) =\phi \)である場合にも\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の部分集合になるからです。

逆対応の定義より、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
b\in f\left( a\right) \Leftrightarrow a\in f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(b\)が対応\(f\)による\(a\)の像の要素であることと、\(a\)が逆対応\(f^{-1}\)による\(b\)の像の要素であることは必要十分です。

例(逆対応)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =\left\{ c\right\} \)かつ\(f\left( 2\right) =\left\{ a,c\right\} \)かつ\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)です。一方、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ b\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( c\right) =\left\{ b\right\} \)を満たします。
図:逆対応
図:逆対応
例(逆対応)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =\left\{ b\right\} \)かつ\(f\left( 2\right) =\left\{ a\right\} \)かつ\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)です。一方、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( c\right) =\phi \)を満たします。
図:逆対応
図:逆対応
例(逆対応)
対応\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。一方、逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(y\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left[ 0,1\right] & if\ y=0 \\
\left\{ 1\right\} & if\ y>0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例(逆対応)
\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}を定めるものとします。一方、逆対応\(f^{-1}:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(y\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\left[ y,1\right] \end{equation*}を定めます。

 

逆対応のグラフ

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、そのグラフ\(G\left( f^{-1}\right) \)を考えることができます。具体的には、対応のグラフの定義より、\begin{equation*}
G\left( f^{-1}\right) =\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ a\in
f^{-1}\left( b\right) \right\}
\end{equation*}となります。対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と定義されますが、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation}
b\in f\left( a\right) \Leftrightarrow a\in f^{-1}\left( b\right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
G\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ a\in
f^{-1}\left( b\right) \right\} \quad \because G\left( f^{-1}\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ b\in f\left( a\right)
\right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ \left( a,b\right) \in G\left(
f\right) \right\} \quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
G\left( f^{-1}\right) =\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ \left(
a,b\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、対応\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)の要素である順序対\(\left( a,b\right) \)の成分の順序を交換して得られる順序対\(\left( b,a\right) \)からなる集合は逆対応\(f^{-1}\)のグラフ\(G\left( f^{-1}\right) \)と一致します。同様に、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ \left(
b,a\right) \in G\left( f^{-1}\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立つことも示されます(演習問題)。つまり、逆対応\(f^{-1}\)のグラフ\(G\left( f^{-1}\right) \)の要素である順序対\(\left( b,a\right) \)の成分の順序を交換して得られる順序対\(\left( a,b\right) \)からなる集合は対応\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)と一致します。

命題(対応のグラフと逆対応のグラフの関係)
対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフ\(G\left( f\right) \)と逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)のグラフ\(G\left( f^{-1}\right) \)の間には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times
B\ |\ \left( b,a\right) \in G\left( f^{-1}\right) \right\} \\
&&\left( b\right) \ G\left( f^{-1}\right) =\left\{ \left( b,a\right) \in
B\times A\ |\ \left( a,b\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}という関係がともに成り立つ。
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逆対応の定義域と値域

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、その定義域\(D\left( f^{-1}\right) \)や値域\(R\left( f^{-1}\right) \)について考えることができます。一般に、対応の定義域は始集合と一致するため、\begin{eqnarray}
D\left( f\right) &=&A \quad\cdots (1) \\
D\left( f^{-1}\right) &=&B \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}などの関係が成り立ちます。任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation}
b\in f\left( a\right) \Leftrightarrow a\in f^{-1}\left( b\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、逆対応\(f^{-1}\)の値域は、\begin{eqnarray*}
R\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:a\in
f^{-1}\left( b\right) \right\} \quad \because R\left( f^{-1}\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:b\in f\left( a\right) \right\} \quad
\because \left( 3\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。したがって、対応\(f\)が任意の\(a\in A\)に対して\(f\left( a\right) \not=\phi \)を満たす場合、すなわち\(f\)が非空値をとる場合には、\begin{equation*}
R\left( f^{-1}\right) =A
\end{equation*}となりますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ちなみに、対応\(f\)が非空値をとらない場合、上の関係は成り立つとは限りません。下の例から明らかです。

例(逆対応の定義域と値域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より\(f\left( 3\right) =\phi \)であるため、この対応\(f\)は非空値をとりません。さらに、対応\(f\)の定義域は\(D\left( f\right) =\left\{ 1,2,3\right\} \)である一方、逆対応\(f^{-1}\)の値域は\(R\left( f^{-1}\right) =\left\{ 1,2\right\} \)であり、両者は一致しません。
図:逆対応の定義域と値域
図:逆対応の定義域と値域

同様に、逆対応\(f^{-1}\)が任意の\(b\in B\)に対して\(f\left( b\right) \not=\phi \)を満たす場合、すなわち\(f^{-1}\)が非空値をとる場合には、\begin{equation*}
D\left( f^{-1}\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題にします)。ただし、逆対応\(f^{-1}\)が非空値をとらない場合、上の関係は成り立つとは限りません。下の例から明らかです。

例(逆対応の定義域と値域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より\(f^{-1}\left( c\right) =\phi \)であるため、この逆対応\(f^{-1}\)は非空値をとりません。さらに、逆対応\(f^{-1}\)の定義域は\(D\left( f^{-1}\right) =\left\{ a,b,c\right\} \)である一方、対応\(f\)の値域は\(R\left( f\right) =\left\{ a,b\right\} \)であり、両者は一致しません。
図:逆対応の定義域と値域
図:逆対応の定義域と値域
命題(逆対応の定義域と値域)
対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が非空値をとる場合には、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)との間に、\begin{equation*}
D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、逆対応\(f^{-1}\)が非空値をとる場合には、これと対応\(f\)の間に、\begin{equation*}
D\left( f^{-1}\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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逆対応の逆対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、さらにその逆対応\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\twoheadrightarrow B\)について考えることができます。ただし、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
b\in \left( f^{-1}\right) ^{-1}\left( a\right) &\Leftrightarrow &a\in
f^{-1}\left( b\right) \\
&\Leftrightarrow &b\in f^{-1}\left( a\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( f^{-1}\right) ^{-1}\left( a\right) =f^{-1}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}\)は\(f\)と対応として等しいことが明らかになりました。

命題(逆対応の逆対応)

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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次回から対応の連続性について解説します。

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