逆対応

逆対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)の逆像とは、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b\in f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合であるため、\(B\)のそれぞれの要素\(b\)に対して\(A\)の部分集合である\(f^{-1}\left( b\right) \)を1つずつ定める新たな対応が定義可能です。このように定義された対応を\(f\)の逆対応（inverse correspondene）と呼び、これを、\begin{equation*}
f^{-1}:B\twoheadrightarrow A
\end{equation*}で表記します。つまり、逆対応\(f^{-1}\)がそれぞれの要素\(b\in B\)に対して定める像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b\in f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}という\(A\)の部分集合です。

例（逆対応）

集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。

図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a,c\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ 2\right\}
\end{eqnarray*}を満たします。

逆対応は常に定義可能

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は存在するとは限りません。一方、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、その逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は必ず存在します。理由は以下の通りです。

逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は集合\(B\)から集合\(A\)への対応であるため、逆対応\(f^{-1}\)が定義可能であるためには、\(f^{-1}\)がそれぞれの\(b\in B\)に対して定める像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b\in f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}が必ず\(A\)の部分集合である必要があります。\(f^{-1}\left( b\right) \)のパターンとしては1点集合であるケース、複数の要素を持つケース、空集合であるケースの3通りが起こり得ます。特に、3番目のケース、すなわちある\(b\in B\)について\(f^{-1}\left( b\right) =\phi \)が成り立つ場合でも、空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\phi \subset A
\end{equation*}となり、したがってどのような\(b\)に対しても\(f^{-1}\left( b\right) \)が\(A\)の部分集合になることが保証されるため、逆対応\(f^{-1}\)は常に存在します。

ちなみに、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が以下の条件\begin{equation*}\exists b\in B:f^{-1}\left( b\right) =\phi
\end{equation*}を満たす場合、\(f^{-1}\)は点\(b\)において空値をとる（empty valued）と言います。先の理由により、対応が空値をとることは認められます。一方、以下の条件\begin{equation*}\forall b\in B:f^{-1}\left( b\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f^{-1}\)は非空値をとる（non-empty valued）と言います。

例（逆対応）

集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。

図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}を満たします。\(f^{-1}\left(a\right) \)と\(f^{-1}\left( b\right) \)は明らかに\(A\)の部分集合です。\(f^{-1}\left( c\right) \)は空集合ですが、空集合は任意の集合の部分集合であるため\(f^{-1}\left( c\right) \)もまた\(A\)の部分集合です。したがって\(f^{-1}\)は逆対応としての要件を満たしています。\(f^{-1}\)は点\(c\)において空値をとる対応です。

対応の像と逆対応の像の関係

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、その逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)がそれぞれの\(b\in B\)に対して定める像は、\begin{equation}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b\in f\left( a\right) \right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
b\in f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす順序対\(\left( a,b\right)\in A\times B\)を任意に選びます。すると\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}a\in f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\forall \left( a,b\right) \in A\times B:\left[ b\in f\left( a\right)
\Rightarrow a\in f^{-1}\left( b\right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。逆に、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}を満たす順序対\(\left( a,b\right)\in A\times B\)を任意に選びます。すると\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}b\in f\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\forall \left( a,b\right) \in A\times B:\left[ a\in f^{-1}\left( b\right)
\Rightarrow b\in f\left( a\right) \right] \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\forall \left( a,b\right) \in A\times B:\left[ a\in f^{-1}\left( b\right)
\Leftrightarrow b\in f\left( a\right) \right] \end{equation*}を得ます。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\(a\)が逆対応\(f^{-1}\)による\(b\)の像の要素であることと、\(b\)が対応\(f\)による\(a\)の像の要素であることは必要十分です。

対応のグラフと逆対応のグラフの関係

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される直積\(A\times B\)の部分集合です。逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、そのグラフ\begin{equation*}G\left( f^{-1}\right) =\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ a\in
f^{-1}\left( b\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能です。両者の間には以下の関係が成立します。

上の命題より、\begin{equation*}
G\left( f^{-1}\right) =\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ \left(
a,b\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、対応\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)が与えられたとき、その要素である順序対\(\left( a,b\right) \)の成分の順序を交換することで得られる順序対\(\left(b,a\right) \)をすべて集めれば逆対応\(f^{-1}\)のグラフ\(G\left(f^{-1}\right) \)が得られます。

やはり上の命題より、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ \left(
b,a\right) \in G\left( f^{-1}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、逆対応\(f^{-1}\)のグラフ\(G\left( f^{-1}\right) \)が与えられたとき、その要素である順序対\(\left( b,a\right) \)の成分の順序を交換することで得られる順序対\(\left( a,b\right) \)をすべて集めれば対応\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)が得られます。

逆対応の定義域と値域

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の定義域と値域はそれぞれ、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \subset B\right\}
\\
R\left( f\right) &=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、その定義域および値域\begin{eqnarray*}D\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \subset
A\right\} \\
R\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ f^{-1}\left( b\right) \in A\ |\ b\in
B\right\}
\end{eqnarray*}が定義可能です。両者の間には以下の関係が成立します。

先の命題より、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が非空値をとる場合には、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)との間に、\begin{equation*}D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、対応\(f\)が非空値をとらない場合、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in A:f\left( a\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、同様の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例（対応の定義域と逆対応の値域が一致しない場合）

集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。

図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a,c\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は非空値をとらず、したがって先の命題が要求する条件を満たしていません。逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ 2\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( f\right) =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}である一方、\(f^{-1}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( f^{-1}\right) =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、両者は一致しません。

先の命題より、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)が非空値をとる場合には、\begin{equation*}D\left( f^{-1}\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、逆対応\(f^{-1}\)が非空値をとらない場合、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in B:f^{-1}\left( b\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、同様の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例（逆対応の定義域と対応の値域が一致しない場合）

集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。

図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\{ b\right\} \\
f\left( 2\right) &=&\left\{ a\right\} \\
f\left( 3\right) &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}です。一方、逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}を定めるため\(f^{-1}\)は非空値をとらず、したがって先の命題が要求する条件を満たしていません。\(f^{-1}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( f^{-1}\right) =\left\{ a,b,c\right\}
\end{equation*}である一方、\(f\)の値域は、\begin{equation*}R\left( f^{-1}\right) =\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、両者は一致しません。

逆対応の逆対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の逆対応\(f^{-1}:B\twoheadrightarrow A\)もまた対応であるため、さらにその逆対応\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\twoheadrightarrow B
\end{equation*}が定義可能です。ただし、これはもとの対応\(f\)と一致します。