対応による逆像と対応の連続性

対応の連続性(上半連続性・下半連続性)の概念は、対応が終集合の部分集合に対して定める上逆像や下逆像が満たすべき性質として表現することが可能です。
対応の上半連続性  対応の下半連続性
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逆像と上半連続性

位相が導入されている集合\(A,B\)について考えます。\(A,B\)がそれぞれ距離空間である場合や、\(A,B\)がそれぞれユークリッド空間である場合などを想定してください。復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)に関して以下の3つの命題はお互いに必要十分です。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は連続である}
\\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset B\text{の逆像}f^{-1}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset B\text{の逆像}f^{-1}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}

対応の上半連続性は写像の連続性を一般化した概念であるとともに、対応が終集合の部分集合に対して定める上逆像や下逆像はいずれも写像が終集合の部分集合に対して定める逆像を一般化した概念であることを踏まえると、対応の上半連続性に関しても、それを上逆像や下逆像に関する性質として表現できるのではないかという予想が立ちます。実際、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して以下の3つの命題はお互いに必要十分です。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は上半連続である} \\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset B\text{の上逆像}f^{+}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset B\text{の下逆像}f^{-}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}

まずは\(\left( a\right) \Rightarrow \left( b\right) \)を示します。対応\(f:A\rightarrow B\)が上半連続であるものとします。終集合\(B\)の部分集合であるような開集合\(Y\)を任意に選んだとき、その上逆像\begin{equation}
f^{+}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \subset Y\right\}
\quad\cdots (1)
\end{equation}が\(A\)上の開集合であることを示すことが目標です。より具体的には、開集合の定義より、点\(a\in f^{+}\left( Y\right) \)を任意に選んだときに、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset f^{+}\left(
Y\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを示すことが目標になります。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする\(\varepsilon \)-近傍です。以下では\(\left( 2\right) \)を示します。

点\(a\in f^{+}\left( Y\right) \)に対して\(\left( 1\right) \)より\(f\left( a\right) \subset Y\)が成り立ちますが、仮定より\(Y\)は\(B\)上の開集合であり、なおかつ\(f\)は上半連続であることから、\begin{eqnarray*}
&&\left( 3\right) \ a\in V \\
&&\left( 4\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset Y
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在します。\(\left( 3\right) \)より\(a\in V\)ですが、\(V\)は開集合であるため、この点\(a\)に対して、\begin{equation*}
\exists \varepsilon ^{\prime }>0:U_{\varepsilon ^{\prime }}\left( a\right)
\subset V
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
V\subset f^{+}\left( Y\right) \quad\cdots (5)
\end{equation}であることを示せばそもそもの目標である\(\left( 2\right) \)を示したことになります。そこで以降では\(\left( 5\right) \)を示します。具体的には、\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in V &\Rightarrow &f\left( x\right) \subset Y\quad \because \left( 4\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{+}\left( Y\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 5\right) \)が示されたため目標が達成されました。\(\left( b\right) \Rightarrow \left( a\right) \)の証明は演習問題とします。\(\left( b\right) \Leftrightarrow \left( c\right) \)は開集合および閉集合の定義から証明可能です(演習問題にします)。

命題(逆像と上半連続性)
位相が導入された集合\(A,B\)に関する対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は上半連続である} \\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset B\text{の上逆像}f^{+}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset B\text{の下逆像}f^{-}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}
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例(逆像と上半連続性)
対応\(f:\mathbb{R}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x>1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。
図:対応
図:対応

この対応\(f\)は上半連続であるため(確認してください)、上の命題より、\(\mathbb{R}\)上の任意の開集合\(Y\)の上逆像\(f^{+}\left( Y\right) \)は\(A\)上の開集合になるはずです。具体例を通じて検証すると、\begin{eqnarray*}
f^{+}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \mathbb{R} \right\} =\mathbb{R}\\
f^{+}\left( \left( -1,\frac{1}{2}\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \left( -1,\frac{1}{2}\right) \right\} =\left(
-\infty ,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) \\
f^{+}\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \left( 0,1\right) \right\} =\phi \\
f^{+}\left( \phi \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \phi \right\} =\phi
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらはいずれも\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため主張と整合的です。やはり先の命題より、\(\mathbb{R}\)上の任意の閉集合\(Y\)の下逆像\(f^{-}\left( Y\right) \)は\(A\)上の閉集合になるはずです。具体例を通じて検証すると、\begin{eqnarray*}
f^{-}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \mathbb{R} \not=\phi \right\} =\mathbb{R}\\
f^{-}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \left[ 0,1\right] \not=\phi \right\} =\mathbb{R}\\
f^{-}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \left\{ 0\right\} \not=\phi \right\} =\mathbb{R}\\
f^{-}\left( \phi \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \phi \not=\phi \right\} =\phi
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらはいずれも\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるため主張と整合的です。

例(逆像と上半連続性)
対応\(f:\mathbb{R}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left[ 0,1\right] & if\ x<1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x\geq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。
図:対応
図:対応

この対応\(f\)は上半連続ではないため(確認してください)、先の命題より、上逆像\(f^{+}\left( Y\right) \)が\(A\)上の開集合にはならないような\(\mathbb{R}\)上の開集合\(Y\)や、下逆像\(f^{-}\left( Y\right) \)が\(A\)上の閉集合にはならないような\(\mathbb{R}\)上の閉集合\(Y\)が存在するはずです。実際、\begin{equation*}
f^{-}\left( \left\{ 1\right\} \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \left\{ 1\right\} \not=\phi \right\} =\left(
-\infty ,1\right)
\end{equation*}となりますが、これは閉集合\(\left\{ 1\right\} \)の\(f\)による下逆像が開集合\(\left( -\infty ,1\right) \)になっています。

 

逆像と下半連続性

対応の下半連続性もまた写像の連続性を一般化した概念であるとともに、対応が終集合の部分集合に対して定める上逆像や下逆像はいずれも写像が終集合の部分集合に対して定める逆像を一般化した概念であることを踏まえると、対応の下半連続性に関しても、それを上逆像や下逆像に関する性質として表現できるのではないかという予想が立ちます。実際、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して以下の3つの命題はお互いに必要十分です。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は下半連続である} \\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset B\text{の下逆像}f^{-}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset B\text{の上逆像}f^{+}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}

証明は上半連続性に関する先の命題と同様です(演習問題にします)。

命題(逆像と下半連続性)
位相が導入された集合\(A,B\)に関する対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)に関して以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は下半連続である} \\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset B\text{の下逆像}f^{-}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset B\text{の上逆像}f^{+}\left( Y\right) \text{は}A\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(逆像と下半連続性)
対応\(f:\mathbb{R}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left[ 0,1\right] & if\ x<1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x\geq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。
図:対応
図:対応

この対応\(f\)は下半連続であるため(確認してください)、上の命題より、\(\mathbb{R}\)上の任意の開集合\(Y\)の下逆像\(f^{-}\left( Y\right) \)は\(A\)上の開集合になるはずです。具体例を通じて検証すると、\begin{eqnarray*}
f^{-}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \mathbb{R} \not=\phi \right\} =\mathbb{R}\\
f^{-}\left( \left( -1,\frac{1}{2}\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \left( -1,\frac{1}{2}\right) \not=\phi \right\} =\mathbb{R}\\
f^{-}\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \left( 0,1\right) \not=\phi \right\} =\left(
-\infty ,1\right) \\
f^{-}\left( \phi \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \cap \phi \not=\phi \right\} =\phi
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらはいずれも\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため主張と整合的です。やはり先の命題より、\(\mathbb{R}\)上の任意の閉集合\(Y\)の上逆像\(f^{+}\left( Y\right) \)は\(A\)上の閉集合になるはずです。具体例を通じて検証すると、\begin{eqnarray*}
f^{+}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \mathbb{R} \right\} =\mathbb{R}\\
f^{+}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \left[ 0,1\right] \right\} =\mathbb{R}\\
f^{+}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \left\{ 0\right\} \right\} =[1,+\infty ) \\
f^{+}\left( \phi \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \phi \right\} =\phi
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらはいずれも\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるため主張と整合的です。

例(逆像と下半連続性)
対応\(f:\mathbb{R}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x>1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。
図:対応
図:対応

この対応\(f\)は下半連続ではないため(確認してください)、先の命題より、下逆像\(f^{-}\left( Y\right) \)が\(A\)上の開集合にはならないような\(\mathbb{R}\)上の開集合\(Y\)や、上逆像\(f^{+}\left( Y\right) \)が\(A\)上の閉集合にはならないような\(\mathbb{R}\)上の閉集合\(Y\)が存在するはずです。実際、\begin{equation*}
f^{+}\left( \left\{ 0\right\} \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \subset \left\{ 0\right\} \right\} =\left( -\infty
,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right)
\end{equation*}となりますが、これは閉集合\(\left\{ 0\right\} \)の上逆像が開集合\(\left( -\infty ,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) \)になっています。

次回は点列を用いて対応の連続性を表現します。

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