1変数関数とベクトル値関数の合成関数

1変数関数とベクトル値関数の合成関数

集合\(X,Y\)に加えて1変数の実数値関数と1変数のベクトル値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。加えて、\(f\)の値域が\(\boldsymbol{g}\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は自身の定義域\(X\)の要素である実数\(x\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、仮定\(\left( 1\right) \)より、この実数\(f\left( x\right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域\(Y\)の要素であるため、\(\boldsymbol{g}\)はこの実数\(f\left( x\right) \in Y\)に対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \) \(\left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{g}\)の成分関数です。

このような事情を踏まえると、先のような2つの関数\(f,\boldsymbol{g}\)が与えられた場合には、関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)と\(\boldsymbol{g}\)の合成関数（composite function）と呼びます。

合成関数の定義域（合成関数が定義可能であるための条件）

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域がベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。

一方、\(\left( 1\right) \)が成り立たない場合には、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation}\exists x^{\prime }\in X:f\left( x^{\prime }\right) \not\in Y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、点\(f\left( x^{\prime }\right) \)においてそもそもベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は定義されていないため\(\boldsymbol{g}\left(f\left( x^{\prime }\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって、点\(x^{\prime }\)において合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は定義不可能です。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)の定義域として\(X\)を採用できません。

\(\left( 2\right) \)が成り立つ状況において合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)を定義するためには、\(\left( 2\right) \)を満たす点\(x^{\prime }\)を定義域\(X\)から除外する必要があります。つまり、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)の定義域として、\(f\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
\in Y\right\}
\end{equation*}を採用する必要があります。

演習問題