収束曲線と収束関数の関係

曲線(ベクトル値関数)が点において収束することは、曲線のすべての座標関数がその点において収束することとして特徴づけることができます。

曲線の収束 曲線の極限

曲線の極限と座標関数の極限の関係

曲線が収束することをイプシロン・デルタ論法によって証明するのは面倒です。また、証明を行う際には、極限の候補が必要になるという問題もあります。このような煩わしさから解放してくれるのが以下の命題です。

命題(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。このとき、すべての座標関数\(f_{i}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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つまり、曲線がある点において収束することを示したい場合には、その曲線の任意の座標関数がその点において収束することを示せばよいということです。さらに、それぞれの座標関数の極限を要素とする点が、もとの曲線の極限と一致します。この命題は、曲線の極限に関する問題が、関数の極限に関する問題へと帰着させられることを示唆しています。関数の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを、先ほどイプシロン・デルタ論法を用いて証明しました。さて、座標関数\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
x^{2}-x\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 1}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
x+1\right) =2
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(1\)において点\(\left( 0,2\right) \)に収束します。この結果は\(\left( 1\right) \)と整合的です。
例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(3\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x-1}{x+1},\ \frac{e^{x}-1}{x},\ 2x^{2}-\pi
\right) \in
\mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定める曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)について考えます。座標関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{x-1}{x+1}\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x+1}=\frac{-1}{1}=-1
\end{equation*}が成り立ち、座標関数\(f_{2}\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}}{1}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、座標関数\(f_{3}\left( x\right) =2x^{2}-\pi \)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{3}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left(
2x^{2}-\pi \right) =-\pi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、曲線\(f\)もまた点\(0\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow
0}f_{1}\left( x\right) ,\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right)
,\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{3}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( -1,\ 1,\ -\pi \right)
\end{eqnarray*}となります。

先の命題より、曲線\(f\)の少なくとも 1 つの座標関数\(f_{i}\)が点\(a\)において収束しない場合には、曲線\(f\)もまた点\(a\)において収束しません。

例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x^{2}},\ x+1\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)について考えます。座標関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}となるため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(0\)において収束しません。

曲線が収束することはすべての座標関数が収束することとして表現可能であることが明らかになりましたが、曲線が収束することは、収束点列や収束数列を用いて表現可能です。次回はこのことについて解説します。

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