収束曲線と収束列の関係

曲線(ベクトル値関数)が点において収束することは、収束点列や収束数列を用いて表現することもできます。

曲線の収束 曲線の極限

収束曲線と収束列の関係

収束曲線の概念は収束列を用いて表現することもできます。具体的には、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とし、\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、それと曲線\(f\)から構成される点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b\)が成り立つことは、曲線\(f\)が\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\)を満たすための必要十分条件です。

命題(収束曲線と収束列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)、そして点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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この命題は、曲線の極限に関する問題が、ユークリッド空間における点列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。点列の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

 

収束曲線と収束数列の関係

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表します。上の命題中の点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{n}\right) =\left( f_{1}\left( x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{n}\right) \right)
\end{equation*}と表せるため、点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)から\(m\)個の数列\(\{f_{1}\left( x_{n}\right) \},\cdots ,\{f_{m}\left( x_{n}\right) \}\)を得られます。これらの数列がすべて収束することは、点列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\left(
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{n}\right) ,\cdots
,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x_{n}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を踏まえると、先の命題を以下のように言い換えることができます。

命題(収束曲線と収束数列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。実数\(a\in \mathbb{R} \)と点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たに\(m\)個の数列\(\{f_{i}\left( x_{n}\right) \}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)をつくる。このとき、任意の\(i\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{i}\left( x_{n}\right) =b_{i}\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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この命題は、曲線の極限に関する問題が、数列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。数列の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

次回は曲線の片側曲線について解説します。

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