確認テスト I（1変数のベクトル値関数）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(t\rightarrow 0\)の場合の\(\boldsymbol{f}\left(t\right) \)の極限を、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数の極限をとることにより特定してください（5点）。
2. 問1で求めた極限が正しいことを、点列を用いて検証してください（10点）。
3. 問1で求めた極限が正しいことを、イプシロン・デルタ論法を用いて検証してください（10点）。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{t} \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(t\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)が収束しないことを、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数の極限をとることにより特定してください（5点）。
2. 問1の結論が正しいことを、点列を用いて検証してください（10点）。
3. 問1の結論が正しいことを、イプシロン・デルタ論法を用いて検証してください（15点）。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続である場合には、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界な閉区間になることが保証されます。では、ベクトル値関数に関しても同様の主張は成り立つでしょうか。すなわち、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続である場合には、\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有界な閉区間になることが保証されるでしょうか。ただし、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有界な閉区間とは、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について\(a_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)を用いて、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] =\prod_{i=1}^{m}\left[
a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。ただし、\(m\geq 2\)であるものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( a\right) \not=\boldsymbol{f}\left( b\right)
\end{equation*}を満たすものとします。ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{m}\)を選んで固定した上で、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( t\right) =\boldsymbol{f}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(g\)が連続であることを示し、\(g\)に対して中間値の定理を適用して何が言えるかを述べてください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cl}
   x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
   0 & \left( if\ x=0\right)
   \end{array}\right.
   \end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
   \begin{array}{c}
   \sin \left( x\right) \\
   \cos \left( x\right)
   \end{array}\right)
   \end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に収束するでしょうか。検証してください。
2. 関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}\end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
   \begin{array}{c}
   \sin \left( x\right) \\
   \frac{1}{1+x^{2}}\end{array}\right)
   \end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に収束するでしょうか。検証してください。