確認テスト II（1変数のベクトル値関数）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の成分関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表記します。つまり、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。以下の問いに答えてください。

1. \(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において連続であることを、イプシロン・デルタ論法を用いて表現してください（5点）。
2. \(f_{i}\)が点\(a\in X\)において連続であることを、イプシロン・デルタ論法を用いて表現してください（5点）。
3. \(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\)もまた点\(a\)において連続であることを証明してください。ただし、ここでは\(\boldsymbol{f}\)および\(f_{i}\)の連続性の定義として、イプシロン・デルタ論法を用いたものを採用します（10点）。
4. \(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が点\(a\in X\)において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において連続であることを証明してください。ただし、ここでは\(\boldsymbol{f}\)および\(f_{i}\)の連続性の定義として、イプシロン・デルタ論法を用いたものを採用します（10点）。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続でしょうか。判定してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において左側連続でしょうか。判定してください。
3. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続でしょうか。判定してください。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が点\(0\)において連続ではないことを点列を用いて証明してください。

ドローンを真横から観察した場合の、時点\(t\geq 0\)におけるドローンの位置が、それぞれの\(t\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
t \\
\sin \left( \frac{1}{t}\right)
\end{array}\right) & \left( if\ t>0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}によって記述されているものとします。この軌道は実現可能であるか議論してください。

3次元空間において、時点\(t>0\)におけるロボットアームの先端の位置が、それぞれの\(t\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right) \\
\frac{\arctan \left( t\right) }{t}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}によって記述されているものとします。ただし、\begin{equation*}
\arctan \left( t\right) =t-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{5}}{5}-\frac{t^{7}}{7}+\cdots
\end{equation*}とみなしてかまいません。以下の問いに答えてください。

1. ロボットアームが\(t=0\)において連続的に動作するためには、初期時点\(0\)における位置\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)をどこに設定する必要があるでしょうか（5点）。
2. ロボットアームの動作時間帯\(T\subset \mathbb{R} _{+}\)がコンパクト集合である場合、この時間帯における先端位置の軌跡\(\boldsymbol{f}\left( T\right) \)はどのような性質を持つ集合になるでしょうか。また、その性質は、ロボットアームを制御する上でどのような利点であると言えるでしょうか（10点）。
3. ロボットアームの動作時間帯\(T\subset \mathbb{R} _{+}\)が区間である場合、この時間帯における先端位置の軌跡\(\boldsymbol{f}\left( T\right) \)はどのような性質を持つ集合になるでしょうか。また、その性質は、ロボットアームを制御する上でどのような利点であると言えるでしょうか（10点）。