ベクトル値関数の連続点
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。このような関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続である場合、\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の連続点（continuous point）と呼びます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の集積点である場合には、\(\left( 1\right) \)が成り立つことと、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。つまり、定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の集積点である場合、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の連続点であることと\(\left( 2\right) \)が成り立つことは必要十分です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(\left( 1\right) \)は常に成り立ちます。つまり、定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合、\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の連続点です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域に属さない点\(a\in \mathbb{R} \backslash X\)は\(\boldsymbol{f}\)の連続点ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(\boldsymbol{f}\)の連続点であることと、点\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\)の連続点であることは必要十分です。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{x} \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\not=0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{x} \\
x\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( a\right) }{a} \\
a\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の連続点です。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{x} \\
x\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の連続点ではありません。
ベクトル値関数の第1種の不連続点
点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の不連続点ではない場合、\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の不連続点（discontinuous point）と呼びます。
点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の不連続点であるとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点（jump discontinuous point）と呼びます。つまり、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点であることとは、左右の片側極限が存在するものの、それらの値が一致しないことを意味します。この場合、\(\boldsymbol{f}\)のグラフは点\(a\)において飛び跳ねるように切れています。ちなみに、左右の右側極限が一致せず、なおかつ\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点であることは\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{i}\)を用いて以下のように表現できます。
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right)
\not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことと、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点であることは必要十分である。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
x\end{array}\right) \quad \because x>0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0-}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
x\end{array}\right) \quad \because x<0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow
0-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}であり、したがって点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点です。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x>0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において定義されていません。しかし、先に示したように、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}であるため、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点です。
点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の不連続点であるとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点（removable discontinuous point）と呼びます。つまり、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点であることとは、左右の片側極限が存在し、なおかつそれらがが一致するものの、それが\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)とは一致しないことを意味します。この場合、\(\boldsymbol{f}\)のグラフは点\(a\)において穴が開いています。ちなみに、左右の右側極限が一致する一方で、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点です。
左右の片側極限が一致する場合、それは通常の意味での極限と一致します。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の除去可能な不連続点であることを、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \not=\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。この場合、点\(a\)における\(\boldsymbol{f}\)の値を、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( a\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}と定義し直せば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続になり、不連続点は除去されます。除去可能な不連続点という名称の由来は以上の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(\boldsymbol{f}\)の跳躍不連続点であることは\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{i}\)を用いて以下のように表現できます。
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right) \not=f_{i}\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことと、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点であることは必要十分である。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0^{2} \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点です。ちなみに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}と定義し直せば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続になります。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0^{2} \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つものの、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において定義されていないため、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の除去可能な不連続点です。
点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の跳躍不連続点または除去可能な不連続点のどちらか一方である場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\vee \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、このような不連続点\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の第1種の不連続点（discontinuous point of the first kind）と呼びます。
ベクトル値関数の第2種の不連続点
点\(a\in \mathbb{R} \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の不連続点であるとともに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \not\in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left(
x\right) \not\in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合、すなわち、左右の片側極限の少なくとも一方が存在しない場合、このような不連続点\(a\)を\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点（discontinuous point of the second kind）と呼びます。ちなみに、左右の右側極限の少なくとも一方が存在せず、なおかつ\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点であることは\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{i}\)を用いて以下のように表現できます。
:\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{i}\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つことと、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点であることは必要十分である。
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目した場合、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\frac{1}{x}\)は正の値をとりながら限りなく大きくなるため\(\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)は振動し、ゆえに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \not\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not\in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}でもあります。また、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(\frac{1}{x}\)は負の値をとりながら限りなく小さくなるため\(\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)は振動し、ゆえに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \not\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not\in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}でもあります。以上より、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において定義されていません。その一方で、先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &\not\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &\not\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の第2種の不連続点です。
演習問題
\begin{array}{c}
x^{2} \\
\sin \left( x^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(\boldsymbol{f}\)の連続性の観点から分類してください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。その上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\mathrm{sgn}\left( x\right) \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定める関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(\mathbb{R} \)上の点を\(\boldsymbol{f}\)の連続性の観点から分類してください。
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