ベクトル値関数の無限極限（発散するベクトル値関数）

無限大へ発散するベクトル値関数

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合にも、その際にベクトル\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left(x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(\boldsymbol{f}\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow z\text{のとき}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を無限極限（infinite limit）と呼びます。

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty \)が成り立つこと、すなわち\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなる様子を表現するためには、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標として実数\(M\in \mathbb{R} \)を導入します。その上で、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)の値は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \rightarrow \infty \)であることは、以上のような2つの実数\(M,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \rightarrow \infty \)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の点\(x\)について、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}となります。

さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す値\(M\)としてどれほど大きい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty \)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめます。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)
\right\Vert >M\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(\left\vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\vert \)の大きさを表す実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。