連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の像
実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(f\)による\(X\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。
ベクトル値関数に関しても同様の主張が成り立ちます。すなわち、実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(X\)上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像、すなわち\(\boldsymbol{f}\)の値域\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合になることが保証されます。
命題（連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の像）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であり、\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)上で連続であるものとする。この場合、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合である。
例（連続なベクトル値関数による有界閉区間の像）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。有界閉区間はコンパクト集合であるため\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるならば、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ a,b\right] \)の像は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合です。
\end{equation*}が与えられているものとします。有界閉区間はコンパクト集合であるため\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるならば、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ a,b\right] \)の像は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合です。
例（コンパクト集合の連続像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(t,t^{2}\)はともに連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y=x^{2} \\
0\leq x\leq 1\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)は放物線上に存在する弧です。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です（演習問題）。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(t,t^{2}\)はともに連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y=x^{2} \\
0\leq x\leq 1\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)は放物線上に存在する弧です。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です（演習問題）。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（コンパクト集合の連続像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right]\cup \left[ 2,3\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域が有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)でしたが、今回の定義域\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は有界閉区間ではない\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(t,t^{2}\)はともに連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y=x^{2} \\
0\leq x\leq 1\vee 2\leq x\leq 3\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge \left( 0\leq x\leq 1\vee 2\leq x\leq 3\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 0\leq x\leq 1\right\} \cup \left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 2\leq x\leq 3\right\}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)は放物線上に存在する2つの弧の和集合です。個々の弧は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり、コンパクト集合どうしの和集合はコンパクトであるため\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域が有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)でしたが、今回の定義域\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は有界閉区間ではない\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(t,t^{2}\)はともに連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y=x^{2} \\
0\leq x\leq 1\vee 2\leq x\leq 3\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right)
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge \left( 0\leq x\leq 1\vee 2\leq x\leq 3\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 0\leq x\leq 1\right\} \cup \left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 2\leq x\leq 3\right\}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)は放物線上に存在する2つの弧の和集合です。個々の弧は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり、コンパクト集合どうしの和集合はコンパクトであるため\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
コンパクト集合の連続像定理が要求する条件の吟味
連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、これら2つの条件は必須なのでしょうか。順番に検討します。
まずは、ベクトル値関数が連続である一方で定義域がコンパクト集合ではないケースです。
例（定義域が有界ではない連続なベクトル値関数の像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続ですが、\(\mathbb{R} \)は有界ではないため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}y=x^{2}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)は放物線ですが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合ではなく、したがってコンパクト集合でもありません。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続ですが、\(\mathbb{R} \)は有界ではないため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}y=x^{2}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)は放物線ですが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合ではなく、したがってコンパクト集合でもありません。
続いて、ベクトル値関数が連続ではない一方で定義域がコンパクト集合であるケースです。
例（定義域はコンパクトだが連続ではないベクトル値関数による像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
+\infty \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続ではなく、したがって\(\left[ 0,1\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \cup \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \\
&=&\left( [1,+\infty )\times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( \left\{
0\right\} \times \left\{ 0\right\} \right) \\
&=&\left( [1,+\infty )\cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left\{
0\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではありません。
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
+\infty \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続ではなく、したがって\(\left[ 0,1\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \cup \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \\
&=&\left( [1,+\infty )\times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( \left\{
0\right\} \times \left\{ 0\right\} \right) \\
&=&\left( [1,+\infty )\cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left\{
0\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではありません。
連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の逆像
連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだ場合、\(\boldsymbol{f}\)による逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の逆像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
その一方で、連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域がコンパクト集合である場合には、\(\boldsymbol{f}\)によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることが保証されます。
命題（連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の逆像）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であり、\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)上で連続であるものとする。\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
例（連続なベクトル値関数によるコンパクト集合の逆像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} \)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である\(\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} \)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である\(\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \in \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
演習問題
問題（コンパクト集合の連続像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況が、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすことを確認してください。さらに、\(f\)による\(\left[ 0,1\right] \)の像を特定した上で、それが\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であることを確認してください。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況が、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすことを確認してください。さらに、\(f\)による\(\left[ 0,1\right] \)の像を特定した上で、それが\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であることを確認してください。
問題（コンパクト集合の連続像）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況が、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすことを確認してください。さらに、\(f\)による\(\left[ 0,2\pi \right] \)の像を特定した上で、それが\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であることを確認してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況が、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすことを確認してください。さらに、\(f\)による\(\left[ 0,2\pi \right] \)の像を特定した上で、それが\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であることを確認してください。
問題（コンパクト集合の連続像）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるとは限りません。定義域の部分集合\(Y\subset X\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合、\(f\)による\(Y\)の像\begin{equation*}f\left( Y\right) =\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ x\in Y\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合になることが保証されるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のコンパクト集合になることが保証されるでしょうか。議論してください。
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